第3章 小波变换

《第3章 小波变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3章小波变换WFT在时-频分析中，不能根据高、低频信号的特点，自适应地调整时-频窗，它在时-频局部化的精细方面和灵活方面是有局限性的。本章介绍的小波变换可以克服这些缺点。针对自适应时-频窗的要求，本章从积分变换出发，先分析这类窗函数应具备的抽象形式，再分析这类窗函数应满足的条件。为了循序渐进地讲解，不必急于了解小波函数的表达形式和小波变换的应用方法，因为这些问题在以后章节会有明确的论述。3.1自适应窗函数的设计正如2.5节所讨论的那样，在实际的时-频局部分析中，需要一种自适应的时-频窗。在分析低频信号时，它的时窗宽而频窗窄

2、；在分析高频信号时，它的时窗窄而频窗宽。什么形式的窗函数才能适应这些要求呢？为此，先分析WFT不能实现自适应时-频窗的原因。在WFT中，通常先是以时域开窗的数学形式为主来考虑问题的，也就是说，先将时域局部化为再对开窗后局部时域信号作傅氏变换。在这种观点下，的设计难以自动适应低、高频信号在时域和频域中的局部表现，从而出现了时-频形状不变的特点。也可换一个角度观察WFT，即采用形式其中，。这是一种新的思考方式，在积分变换的意义下，既把看做变换函数，又把看做对在时域和频域都能起限制作用的窗函数。基于这种考虑，不妨假设窗函数具有抽象

3、形式,其中它是由经平移和放缩的结果(见图3.1)，其中b=3。又如山形函数的平移和放缩，见图3.1（a)。形如的窗函数能同时具有时域和频域方面的局部化能力，下面先定性地加以说明。对此，仅需对数学形式12图3.1是经平移和伸缩的结果（其中b=3）[例]山形函数.当a=1，b=0时，函数表达式为经平移和放缩后，其中a、b是可调参数。若取b=0，则函数的数据和图形如下。t0010数据：t1201012t-101010t234010t-202010t468010图形：图3.1(a)山形函数的平移和放缩12从本例和上例看出：（1）平移

4、距离与放缩因子a有密切的关系。例中都取b=3，平移的距离却随着a的增大而缩短：当a=1/2时，图形（中心）右移6个单位长度；a=1时，右移3个单位长度；a=2时，只右移1.5个单位长度。（2）山形随着a的增大而变窄：与a=1的山形作比较，当a=1/2时，山形变宽1倍；当a=2时。山形变窄一半。的形式表现能力作观察分析。对于a<1的情形。若在时域中观察，被拉宽且振幅被压低后成为，则不仅可能起到时域局部化的作用，而且可能使时窗变得较宽。若在频域中观察，被压窄为，则不仅可能起到频域局部化的作用，而且可能使时窗变得较宽。这样，在a<

5、1的情况下，作为窗函数，其时-频窗可能是“扁平”的，这就可能适应低频信号的时-频局部化的需要。对于a>1的情形。若在时域中观察，被压窄且振幅拉高为，则不仅可能起到时域局部化的作用，而且可能使时窗变得较窄。若在频域中观察，被拉宽为，则不仅可能起到频域局部化的作用，而且可能使频窗变得较宽。这样，在a>1的情况下，作为窗函数，其时-频窗可能是“瘦窄”的，这就可能适应高频信号时-频局部化的需要。总之，引用形如的窗函数，在a自动改变的情况下，它能够对低频和高频信号起到自适应的短时分析效果。关于上述特点，作如下这定量的描述。3.2小波（

6、wavelet）、小波变换的定义和条件根据前面的分析，把对模拟信号的积分变换（3.1）称为小波变换，其中（3.2）是由经平移和放缩的结果。当满足一定允许条件时，称为允许小波函数。由式（3.2）有（3.3）12（3.4）其中表明了的一种模量。式（3.3）说明经式（3.2）那样作平移和伸缩变化之后，其模量是不变的。式（3.4）则体现出与参数a的关联，且会随着a的变化而改变。小波变换作为一种积分变换，只有当它能作回复变换时，它才是有意义的。为了推导小波变换的回复公式，需要参照傅氏积分变换推导回复公式所需要的乘积定理式（1.27），

7、即上式表明了变换前两个函数的能量积分和它们在变换后的能量积分之间的等价关系，而且，当时（这里为函数），由上式可推导出傅氏逆变换公式。受此启发，当积分变换是小波变换时，可以得到类似于乘积定理式（1.27）的表现形式。先观察结果是变量b的函数。上式推导中用到了积分变换的共轭关系，例如比照推导的同样办法，有下面再观察12利用上式结果，又有故小波变换有类似于傅氏变换中乘积定理式（1.27）的结果：（3.5）在式（3.5）中，取就得到类似于Parseval等式的能量关系式（略）；在式（3.5）中取，就有其中用到公式故由式（3.5）可推

8、得回复公式（3.6）不难理解，式（3.5）和式（3.6）成立的条件是小波变换被允许的依据。由此可进一步分析允许小波函数所必须具备的条件。下面分析允许小波函数应满足的条件。要使式（3.1）的积分变换有意义（即有逆变换或回复公式），一方面，由式（3.3）要求，这就要求具有快速衰减性；另一方面，