连续相变与空间维度

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1、连续相变与空间维度郭茂森摘要：用范德瓦尔斯模型和朗道连续相变模型这两种平均场理论描述了连续相变的临界现象，但据平均场理论得出结论与实验不符，原因是平均场理论没有考虑临界点附近涨落，而三维空间临界点附近涨落不可忽略。本文唯象地阐明了涨落与空间维度的关系，引人深思。关键词：连续相变临界指数涨落一、引言1869年，安德鲁斯（Andrews）便开始了临界现象的研究。他考察了不同温度条件相相下，二氧化碳的压力如何随体积而改变。他发现当温度达到某一极限温度时，两相比体积相等，两相的其它差别不再存在，物质处于气液不分状态，这一极限温度就是临界温度Tc一般地，人们把一类相变的终点称为临界

2、点，如气液临界点和铁磁相变临界点。与临界点有关的现象称为临界现象，也称作连续相变。二、范德瓦尔斯模型范德瓦尔斯做了两条假设。第一，每个分子具有一定的体积，因此气体有效活动体积缩小为V-Nb，相当于气体分子近距离相互排斥，彼此不能靠的太近。第二，气体分子在较远距离上有微弱的相互吸引，相当于“内压力”，压强增加了a。气体状态方程修正为：称为范德瓦尔斯方程。修正项是小量，所以范德瓦尔斯方程改写为：PV=NkT当气体很稀薄即很小时，实际气体退化为理想气体。当T很大时，范德瓦尔斯气体模型近似PV=NkT描述的理想气体模型。提取温度较低的一条等温线如图所示。在等温线极大点d，有，；在

3、极小点b，有，。当T升高至临界温度Tc时，两点重合形成拐点。因此临界点的温度Tc和压强满足Pc满足方程：，。联立范式方程可解得Tc=；Pc=；Vc=3Nb。引入三个无量纲量：，，。范式方程化为：在临界点附近，，。其中p，，是相对于临界压力、温度、密度的偏离，都是一些小量。代入并忽略高阶小量求得：+在等温线T=Tc，即t=0上，，临界指数；压缩率，临界指数三、朗道序参量模型热力学平衡条件是自由能最小，F=U-TS，这是内能和熵这两种因素竞争的结果。前者代表有序，反应相互作用，后者代表无序，反映热运动。朗道提出序参量的概念，连续相变的特征物质有序程度的改变以及物质对称性质的变

4、化。在连续相变中，序参量的变化是连续的，但是相变却是一种突变，无穷小序参量的变化引起的对称性质破缺是连续相变的本质。以单轴铁磁体为例，在临界点Tc附近，序参量是一个小量，可以将自由能F（T,M）在Tc附近幂展开。系统对于变换M-M是对称的，故展开式不含M奇次幂。平衡态时，M的取值应使热力学势极小，在展开式中，对b（T）的选择应包含以下要求：在临界点Tc以上，热力学势的极小位于m=0处；在临界点Tc以下，热力学势极小位于m>0的范围内；通过临界点，热力学势连续。为满足上述条件，b（T）在处必须易号，很自然的假定，省略M以上的项，并且假定c（T）>0。朗道自由能取极小值的条件

5、是：略去M以上的项，当时，，代入上式，得自由能为：，（1），比热得出，当时，当时，可以看出比热在T=T比热有一跃变，值为比热的奇异性用临界指数描述，+非奇异部分，故由（1）得知临界性质，临界指数与自发磁化强度对偶的热力学变量是磁场：在对应相变点的等温线上，，磁化率得，平均场理论是一种唯象的理论。基本出发点是用一个“平均了的场”来代替物质内部复杂的作用。前者范德瓦尔斯方程只有在很特殊的情况下才能严格的从统计物理推出，后者的朗道序参量模型有两条默认假设：一是自由能函数在临界点附近解析，二是展开系数b（T）在Tc变号，而c（T）>0.由平均场理论得出热容在临界点有一跃变，但是实

6、验结果却是发散，说明平均场理论不是普适理论。注意，“平均了的场”不考虑涨落效应，但临界点附近涨落很大，不能忽略。所以平均场理论需要修改。四、涨落理论与相关函数变量A在位置r与r’涨落之间的相关函数定义为：进一步得。假设研究的物体具有平移不变的对称性，则相关函数只是位矢差的函数：。故相关函数变为：。假定序参量与位置有关，r处的序参量为，体系的平均值为。体系总磁矩外场H平均值，在r处有一扰动，引起的序参量涨落为容易得出，而磁化率：朗道自由能积分形式展开为，变分得，序参量M共轭为外场H，可由F求偏导得出即。分部积分，令边界，求得：（2）展开,不大时，略去的非线性项有：带入(2)

7、得,平衡稳定时，当时，；当，得到得到关于的微分方程组：解得：，其中，，称为相关长度，反应了不同位置的序参量之间相互关联的尺度，每增大一个的距离，具体计算的关联函数就衰减e倍。在临界点附近，，所以连续相变临界点相关长度发散。临界指数v=1/2.五、涨落与空间维度临界点涨落很大，正是这种涨落造成了比热和磁化率的发散，于是把涨落作为小量来修成了平均场理论。以铁磁体为例，相变点以下存在自发磁化强度M，但它在逼近临界点时趋于零。如果能忽略涨落效应，必须要求磁矩的平均涨落远小于磁矩本身。取长度为关联长度ξ的体积V内。V内磁矩数目N（V）。