拟合与插值专题final(边家文)

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1、2011数学建模集训班----拟合与插值专题精彩源于坚持，搏过才知其美边家文2011/11/06在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问题有两种方法。一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容；掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。内容提纲1.拟合问题引例及基本理论2.Matlab求解拟合问题3.

2、应用实例4.插值问题引例及基本理论5.Maltab求解插值问题6.应用实例拟合问题拟合问题引例1温度t(0C)20.532.751.073.095.7电阻R()7658268739421032已知热敏电阻数据：求600C时的电阻R。设R=at+ba,b为待定系数拟合问题引例2t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg)求血药浓度随时间的变化规律c(t).作半对数坐

3、标系(semilogy)下的图形MATLAB(aa1)曲线拟合问题的提法已知一组（二维）数据，即平面上n个点（xi,yi)i=1,…n,寻求一个函数（曲线）y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii为点（xi,yi)与曲线y=f(x)的距离线性最小二乘拟合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函数{r1(x),…rm(x)}的选取1.通过机理分析建立数学模型来确定f(x)；++++++++++++++++++++++++++

4、++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.将数据(xi,yi)i=1,…n作图，通过直观判断确定f(x)：曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路第一步:先选定一组函数r1(x),r2(x),…rm(x),m

5、。记问题归结为，求a1,a2,…am使J(a1,a2,…am)最小。线性最小二乘法的求解：预备知识超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组即Ra=y其中超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。如果有向量a使得达到最小，则称a为上述超定方程的最小二乘解。线性最小二乘法的求解定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解，且即为方程组RTRa=RTy------正则（正规）方程组的解：a=(RTR)-1RTy所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。其中Ra=y（3）用MAT

6、LAB解拟合问题1、线性最小二乘拟合2、非线性最小二乘拟合用MATLAB作线性最小二乘拟合1.作多项式f(x)=a1xm+…+amx+am+1拟合,可利用已有命令:a=polyfit(x,y,m)3.对超定方程组可得最小二乘意义下的解。，用2.多项式在x处的值y的计算命令：y=polyval（a，x）输出拟合多项式系数a=[a1,…,am,am+1]’（数组）输入同长度数组X，Y拟合多项式次数即要求出二次多项式:中的使得:例对下面一组数据作二次多项式拟合1）输入命令：x=0:0.1:1;y=[-0.447,1.978,

7、3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2];R=[(x.^2)',x',ones(11,1)]；A=Ry'MATLAB(zxec1)解法1．解超定方程的方法2）计算结果：Ａ=[-9.8108,20.1293,-0.0317]2）计算结果：Ａ=[-9.8108,20.1293,-0.0317]解法2．用多项式拟合的命令MATLAB(zxec2)1）输入命令：x=0:0.1:1;y=[-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.4

8、8,9.30,11.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%作出数据点和拟合曲线的图形1.lsqcurvefit已知数据点：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan）ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）