数形结合的思想方法二

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1、第一部分常用数学思想方法专题二数形结合的思想方法目录专题概览……………………………………………（3）模拟训练……………………………………………（6）规律总结……………………………………………（20）返回目录专题概览“数”和“形”是数学研究中既有区别又有联系的两个对象.“数”是指数学研究中的数量关系，如，数字特征、点的坐标、等式或不等式等；“形”是数学研究中的图形形式，泛指表示量与之对应的图形、几何意义等.数形结合，是把同一数学问题在数量关系和空间形式这两个方面结合起来思考问题，由形思数，由数思形，互相联想，达到互相转化并使问题得以解决的数学思想.“数”和“形”是数学的两个最基本的研究对象

2、，但在数学早期发展史上，人们对数与形的研究是相对独立和隔离的，从中发展出相对独立的代数学和几何学，直到解析几何学的建立，通过坐标系才使数与形这两个对象完美地、有机地结合起返回目录专题概览来，并促使数学科学迅速发展成近代的数学.著名数学家拉格朗日指出：“只要代数与几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门学科结合成伴侣时，它们互相吸取新鲜的活力，从此以后，就以快速的步伐走向完善.”一般意义下，将数与形结合在一起的背景是坐标系，就是对于某些数学问题，通过引进坐标系，把问题的条件和结论，用点的坐标表示为某些数量的关系式，然后用代数知识解决的方法，这种方法称为坐标法，也叫解析

3、法.解析几何学的内容本身是坐标方法和数形结合思想的载体，数形结合思想和坐标法相辅相成.数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，近几年的高返回目录专题概览考中的解析几何问题、函数与不等式问题、参数范围问题、集合问题、立体几何问题等都用到数形结合的思想方法，这不仅是我们解题的一种思想方法，更重要的是我们进一步学习、研究数学的有力武器，应用数形结合思想方法，通常可以从以下几个方面入手：(1)函数以及函数图象；(2)曲线与方程；(3)可行域与目标函数的最值；(4)概念自身的几何意义；(5)不等式与函数图象.返回目录模拟训练1.若实数x，y满足x2+y2－2x+4y=0,那么x－2y的最大值是()

4、C.9D.10［解析］令t=x－2y,即x－2y－t=0,①∵点(x,y)在圆(x－1)2+(y+2)2=5上，当直线①与圆相切时，t取最大值或最小值.返回目录模拟训练∴令圆心C(1，－2)到直线①的距离为d，则即5－t=±5.∴tmin=0,tmax=10.∴x－2y的最大值为10，故选D.［点评］令t=f(x,y)，从而构造出t的几何意义，这是解决某些代数式问题的常用方法.有许多的数学问题，从叙述过程看，属于代数问题，如果能把内容赋予几何意义，作出相关的解释，“以形助数”，就可从形的角度进行思考，这种意识需要在解题时有目的地训练.［答案］D返回目录模拟训练［分析］通过等号连接的代数式

5、与超越式构成的方程不可解，不能独立求解每一个方程，把两个方程联系起来，思考解题方法.［解析］两个方程都可以变形：lgx=3－x,10x=3－x，设f(x)=10x,则f－1(x)=lgx，y=3－x，且x1，x2分别为两函数f(x)=10x,f－1(x)=lgx的图象与y=3－x的图象交点的横坐标，2.已知x1是方程x+lgx=3的一个根，x2是方程x+10x=3的一个根，那么x1+x2=.返回目录模拟训练∵图象关于y=x对称，［点评］把两个方程的根综合分析，把根理解为图象交点的横坐标，运用数形结合思想思考问题，开辟了较好的解题途径，开阔了解题思路.［答案］3返回目录模拟训练［解析］由不

6、等式的结构特征可判断该题应用数形结合的方法进行求解.令y＝sinx，y＝x，画出图象如右图：由图象可知在(0,)内,y＝sinx与y＝x的大小不确定，故排除A，B.3.若0

7、是()返回目录模拟训练［解析］显然，不能直接解不等式，注意到由已知用对称的方法可画全f(x)在(－3,3)上的图象，cosx的图象又熟知，运用数形结合，如下图所示，从“形”中找出图象分别在x轴上、下部分对应的“数”的区间为.所以，应选B.［点评］f(x)在y轴左边的图象可由奇函数图象关于原点对称画出，也用了对称的思想方法.［答案］B返回目录模拟训练［解析］由，平方得x2+y2=36(x≤0)，∴方程表示的图形是圆心在原点，半径为6的