2.4 二次函数的应用(1)

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1、2.4二次函数的应用(1)教材分析本节课要经历探索长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．在实际背景中解决最优化问题，不是很容易的一件事．首先，实际问题的叙述往往比较长，使人感到问题很难，其次，分析其中各个量之间的关系也不是—件轻松的事情，要想解决好这类问题，一是不要有畏难情绪，我们都可以学会解决应用问题；二是要读懂问题．明确要解决的问题是什么；三要分析问题中各个员之间的关系，把问题表示为数学的形式．在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步一步地得到问题的解．

2、在教学中应引导学生按照上面的步骤进行．首先要给学生自信心，然后要告诉学生如何去分析已知和未知条件，分析问题中各个量之间的关系，把实际问题抽象为数学问题，即二次函数问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．教学目标(一)教学知识点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．(二)能力训练要求1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．(三)情感与价值观要求1．

3、经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．教

4、学难点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题．教学方法教师指导学生自学法．教具准备投影片四张第一张：(记作§2.4.1A)第二张：(记作§2.4.1B)第三张：(记作§2.4.1C)第四张：(记作§2.4.1D)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]本节课我们来学习用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．本节课我们将继续利用二次函

5、数解决最大面积问题．Ⅱ．新课讲解一、情境引入投影片；(§2.4.1A)如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD．其中AB和AD分别在两直角边上．(1)设长方形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示?(2)设长方形的面积为ym2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?[师]分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得所以AD=BC=(40-x).(2)要求面积的最大值．即求函数y=AB·AD=x·(40-x)的最大值，就转化为数学问题了．下面请大家讨

6、论写出步骤．[生](1)∵BC//AD，∴△EBC∽△EAF．∴.又AB＝x，BE=40-x，∴.∴BC=(40-x).∴AD＝BC=(40-x)＝30-x．(2)y＝AB·AD=x(30-x)=-x2+30x=-(x2-40x+400-400)=-(x2-40x+400)+300=-(x-20)2+300当x=20时，y最大=300.即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2．[师]很好．刚才我们先进行了分析．要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问

7、题很难吗?[生]不很难．[师]下面我们换一个条件．看看大家能否解决．设AD边的长为xm，则问题会怎样呢?与同伴交流．[生]要求面积需求AB的边长，而AB＝DC，所以需要求DC的长度，而DC是△FDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求．解：∵DC//AB，∴△FDC∽△FAE．.∵AD=x，FD＝30-x．∴.∴DC=(30-x).∴AB=DC=(30-x).y=AB·AD=x·(30-x)=-x2+40x=-(x2-30x+225-225)=-(x-15)2+300.当x=15时，y最大=300．即当AD的长为15m时，长方形的面积最大，最大面

8、积是300m2二、例题解析投影片：(§2.4.1B)某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所