3.3 垂径定理

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1、第三章圆3.3垂径定理长安三中李海荣一、学情分析学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能，具备几何定理的分析、探索和证明能力。二、教学目标1、知识与技能理解圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理，运用垂径定理及其逆定理解决问题。2、过程与方法经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．3、情感态度与价值观通过学习垂定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的

2、严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．三、重点难点1、重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．2、难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．四、教法学法1、教法：引导探索法、类比法、集体讨论法。2、学法：采用学生观察、类比、发现、讨论、总结、归纳的学习方法。3、资源：多媒体，直观教具。五、教学过程（一）类比引入活动内容：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？活动目的

3、：通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力．（二）猜想探索活动内容：1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由．（学生讨论各抒已见。有的学生可能会用折叠的办法得出猜想，还有的学生可能会尝试用证明的方法得出结论。）2．证明完毕后，学生归纳总结，提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBA注意：定理中的两个条件缺一不可——直径

4、（半径），垂直于弦．通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识．4．垂径定理逆定理的探索如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？ODBAC反例：（三）知识应用讲解例题例：如图

5、，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点0是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径．（学生讨论后书写过程，向学生渗透用代数方法解决几何问题的思想）解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m．∵OE⊥CD根据勾股定理，得OC²=CF²+OF²即R²=300²+(R-90)².解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m.（四）课堂练习课本P76随堂练习1、2题。（五）归纳小结学生交流总结1．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2．解决有关弦的问题，经常是过圆心

6、作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.（六）布置作业P76习题3.3的1、2、3题。六、教学反思学生在探索垂径定理的时候，通过类比等腰三角形的轴对称性，使学生对证明的思考得到突破，从而寻找出合理的证明方向。既掌握了新知识，也培养了学生学习数学的类比思想和观察、猜想的能力。本节课的另一个难点是如何添加辅助线，但限于本节课的时间，效果并不理想，留作课后作业，让学生通过更充分的讨论得出结论，能起到更好地交流和反思的作用。