基于根轨迹法的一级倒立摆校正网络设计

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1、一、一阶倒立摆动力学建模及稳定性分析1、倒立摆对象的数学建模倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：系统的相关参数定义如下：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆质量F加在小车上的力x小车位置Φ摆杆与垂直方向上方向的夹角θ摆杆与垂直方向下方向的夹角（摆杆的初始位置为竖直向下）图2为小车和摆杆的受力

2、分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下的方程：由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面的等式：将此等式代入上述等式中，可以得到系统的第一个运动方程：为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程：力矩平衡方程如下：因为此方程中力矩的方向，由于故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：微分方程模型设θ=π+φ，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小时，即Φ<<1时，则可以进

3、行如下近似处理：线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：传递函数模型对上述方程组进行拉氏变换后得到：解上述方程可得输入量为加速度，输出量为摆杆摆角的传递函数：其中。实际系统参数如下：M小车质量，1.096Kg;m摆杆质量，0.109Kg;b小车摩擦系数，0.1N/m/sec；l摆杆转动轴心到杆质心的长度，0.25m;I摆杆质量，0.0034Kg·m·m；T采样时间，0.005s。将上述系统参数代入可得系统实际模型。摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：Φ(s)/V(s)=2.6683/(s²-26.1493)2、校正前的稳定性分析根据校正前摆杆角度和小车加速度

4、之间的传递函数：Φ(s)/V(s)=2.6683/(s²-26.1493)可得两个开环极点分别为是是s1=5.1136,s2=-5.1136.由此开环传递函数编写matlab程序画出未校正前系统的根轨迹：程序：G=tf([1],[10-26.1493]);K=2.6683;G0=K*G;figure(1)rlocus(G0);rlocfind(G0);figure(2)sys=feedback(G0,1);step(sys);校正前根轨迹可以看出，闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于远点的零点处，这意味着无论增

5、益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。需要校正。一、根轨迹法的倒立摆（超前）校正网络设计对系统设计控制器，设计指标：1）调节时间：ts<=0.5s(2%)2)最大超调量:σ<=10%令σ=10%，查表可得ϟ=0.6，因为当误差带为0.02时ts=4.4/ϟWn,令ts=0.5s，带入数据可得Wn=14.67.已知S1=-ϟWn+jWn（1-ϟ）,S2=-ϟWn-jWn（1-ϟ）带入数据可得一对期望的闭环主导极点：S1=-8.802+11.736j，S2=-8.802-11.736j带入根轨迹的相角条件可得角度为-247.31°则可判断s1与

6、s2并不在最终校正后我们得到的开环传递函数的根轨迹曲线中。所以为了让这两个根落在根轨迹上，我们应该补上一个α=-247.31°+180°=67.31°的角。下面给出利用几何作图法来获得我们所用的超前校正网络环节。（1）.过s1（-8.802,11.736）点做实轴的平行线，在平行线上S1左侧设一点为M。（2）连接s1与原点O，利用量角器测得∠Ms1O=126.87°.做角平分线s1N.(3).通过上面的计算我们得出应该补一个α=67.31°的角，因此我们以角平分线s1N为零刻度线分别向两侧补一个α/2=33.65°的角度。且与实轴交于p3，z两点.通过测量p3点

7、坐标（-27.3，0）,z点（-7.01，0）。由此可以得到所补得超前校正网络中开环零点为-7.,01，开环极点为-27.3.(4).通过以上计算可知，最终修正后稳定后的开环传递函数实轴上有3个开环极点是p1、p2、p3.一个开环零点为z点。直尺测量可得

8、s1p1

9、=18.2041cm,

10、s1p2

11、=12.3018cm,

12、s1p3

13、=21.9068cm，

14、s1z

15、=11.872cm由根轨迹的模值条件：K*=（18.2041*12.3018*21.9068）/11.872=413.231.则我们所需要添加的校正环节的开环增益应为K=413.231/2.6683=1

16、54.8671.即我们所