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1、浅谈中学数学中的数形结合 摘要本文分析了数形结合在数学中的重要地位。重点阐述了如何在具体的问题中进行形与数、数与形的转化,以及在课堂教学中去激发学生培养数形结合的能力。从而达到培养学生思的灵活性与广泛性、应变能力、从数学关系中找到解决问题的能力。关键词数形结合参数方程复数不等式随着社会的发展,教学研究的重心已由过去的偏重内容,转向于传授知识和能力并重的研究。强调人的潜能开发,心理品质培养和社会文化素质的训练。在全面提高全体学生的基本素质的基础上,使各种能力在学生身上得到不同程度的协调发展。作为教育者必须自觉地、科学地、有针对地培养出适合新时代需求的人才。就数学而言
2、,我们又应该如何做到实现素质教育呢?数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学。“数”和“形”是数学中最基本的两个概念。数量关系借用了图形的性质,可以使许多抽象的概念,关系直观化、形象化,并使一些关系简单化。而图形问题在运用了数量关系的公式、法则后,可以使较艰辛的问题归结为较容易处理的数量关系式的研究。中学数学作为学习高等数学的基础,应当把这种关系体现出来,也就是把代数、三角、几何知识之间的联系体现出来。因此,数形结合是中学数学重要的思想方法,要把数形结合作为一种数学思想来培养,形成学生的数学意识,从而提高学生的解题能力。一、一、 中学数学例
3、题中的数形结合思想1、1、 以形助数,一目了然以形助数即运用图形的性质使“数”的问题直观化、形象化。例1：设直线（L）的参数方程是x=ty=b+mt(t是参数) 椭圆（E）的参数方程是x=1+acosθy=sinθa≠0(θ是参数)问a.、b应满足什么条件使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点。解：先消去参数得普通方程：（L）y=mx+b(E)(x-1)²/a²+y²=1两式消去y并整理得：（1+a2m2）x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0（L）和（E）有交点的条件是上式的判别式≥0即(a2mb-1)2-(1+a2m
4、2)(a2b2-a2+1)≥0化简整理得：(a2-1)m2-2bm+(1-b2)≥0这个不等式要对任何m值都成立的条件是：a2-1=0或者a2-1>0b=0b2-(a2-1)*(1-b2)<0这两式而得本题解是：
5、a
6、≥0-/
7、a
8、b/
9、a
10、 上面的解法基本上是代数解法。但如果我们来考察一下本题的几何意义，就会发现：（L）y=mx+b就是以m为参数且过公共点p(0,b)的直线系。题目的要求就是要使这个直线系的所有直线和椭圆（E）有交点。通过进一步观察（L）（E）间的图形关系，就可以发现只要p(0,b)在椭圆内或椭圆上，就可以满足要求。而p点在椭圆上或在椭圆
11、内的充要条件是（0-1）2/a2+b2≤1即1/a2+b2≤1∵1/a2≤1/a2+b2≤1∴a2≥1即∣a∣≥1又∵b2≤1-1/a2=(a2-1)/a2∴∣b∣≥/
12、a
13、也即-/
14、a
15、b/
16、a
17、比较这两种解法，很明显看出后一种解法要比前一种解法简捷得多。为什么后一种解法能比较简单？这就是第一种解法把两曲线相交问题转化为求方程组解的问题后，完全抛开了它的几何性质，仅仅从代数的方面去考虑问题；而第二种解法把数量关系和图形性质结合起来思考，一方面从图形关系上揭示出题目的实质，又同时用数量关系来表示这种实质，两者结合就使解题过程大为简化。下面再从复数、三角、不等式的实
18、例说明数转形的必要性和优越性。例2：已知∣z-+i∣=1求使∣z∣最大的复数z。这是求最大值问题。可以设z=x+yi代入已知不等式中，把它转化为一般求极值的问题去解。但这样解答的过程就比较繁。若我们结合复数的几何意义去考察，则满足条件∣z-(-i)∣=1的z在复平面上就是以（，-1）为圆心，1为半径的圆上的点。题目是求这些z中模最大的一个。即到原点距离最远的一个。很明显，过原点o和圆心c作直线交圆于z1,z2两点，离原点较远的交点表示的复数模最大。则复数z2就是所要求的答案，通过简单的计算就有：z2=3/2-3i/2这个方法同时还可得到另一个结论：使∣z∣最小的复
19、数是z1=/2-i/2例3：已知ΔΑΒC中∠C=60°a+b=2(+1),c=2求角A、B和边a、b。这是解三角形的问题。一般利用正弦定理和余弦定理去解；但过程较繁琐。若从几何图形上考虑，延长AC至D使CD=CB。则AD=a+b=2(+1)∠D=1/2∠C=30°则sin(∠ABD)=AD*sin∠D/c=2(+1)（1/2）/2=(+)/4则∠ABD=105°或∠ABD=75°所以∠ABC=75°或∠ABC=45°然后即可求出∠A和a、b。例4：已知2x+5y≥11,5x+4y≥19且x≥0,y≥0,求使7x+6y取最小值的x,y和最小值。 从解析几何知识可知满
20、足2x+5
