高中数学对数与对数函数

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1、第六节　对数与对数函数1．对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作____________．2．对数的性质、换底公式与运算性质x＝logaN01N3.对数函数的定义、图象与性质定义函数_________(a＞0且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1y＝logax性质定义域：____________值域：_____________当x＝1时，y＝0，即过定点___________当0＜x＜1时，y＜0;当x＞1时，________.当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，____．在(0，＋∞)上为_

2、________在(0，＋∞)上为___________(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1，0)y＞0y＜0增函数减函数4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数_________(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．y＝logaxy＝x1．如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？你能得到什么规律？【提示】作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．∴0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．2．当对数logab的值为正数

3、或负数时，a，b满足什么条件？【提示】若logab＞0，则a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0，1)，简记为a，b在相同的区间内；若logab＜0，则a∈(1，＋∞)且b∈(0，1)或a∈(0，1)且b∈(1，＋∞)，简记为a，b在不同的区间内．1．(人教A版教材习题改编)2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4【解析】2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.【答案】C【解析】由题意知f(x)＝logax，又f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log

4、2x，故选D.【答案】D【答案】D4．(2013·苏州模拟)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．5．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________．【解析】∵f(x)＝lgx，∴f(a2)＋f(b2)＝2lga＋2lgb＝2lgab.又f(ab)＝1，∴lgab＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2.【答案】2【思路点拨】(1)根据乘法公式和对数运算性质进行计算；(2)将对数式化为指数式或直接代入求解．【尝试解答】(1)法一∵loga2＝m，lo

5、ga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.法二∵loga2＝m，loga3＝n，∴a2m＋n＝(am)2·an＝(aloga2)2·aloga3＝22×3＝12.1．对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常用到换底公式及其推论；在对含字母的对数式化简时必须保证恒等变形．2．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化．3．利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化．A．(1，10)B．(5，6)C．(10，12

6、)D．(20，24)(2)作出f(x)的大致图象．不妨设a＜b＜c，因为a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知10＜c＜12，且

7、lga

8、＝

9、lgb

10、，因为a≠b，所以lga＝－lgb，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10，12)，故选C.【答案】(1)D(2)C1．解答本题(1)时，可假设一个图象正确，然后看另一个图象是否符合要求；对于本题(2)根据

11、lga

12、＝

13、lgb

14、得到ab＝1是解题的关键．2．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，

15、常利用数形结合求解．3．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x2＜x3＜x1B．x1＜x3＜x2C．x1＜x2＜x3D．x3＜x2＜x1(2)(2012·皖南八校第三次联考)若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图2－6－2，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是()【解析】(1)在同一坐

16、标系中画出三个函数的图象及直线y＝a(a＜0)，易知x1＞x3＞x2，故选A.(2)由对数函数递减得0＜a＜1，且f(0)＝logab∈(0，1)⇒0＜a＜b＜1，所以函数g(x)单调递减，且g(0)＝a0＋b＝1＋b∈(1，2)．【