第3章 随机过程及答案

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1、通信原理第3章随机过程13.1随机过程的基本概念确定性过程随机过程：随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：2【例】n台示波器同时观测并记录n台完全相同的接收机的输出噪声波形样本函数i(t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。随机过程：(t)={1(t),2(t),…,n(t)}是全部样本函数的集合。角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。3在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i(t1),i=1,2,…,n}是一个随机变量，记

2、为(t1)。随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。时间函数随机变量4(t)：随机过程(t1)：随机变量随机过程(t)的一维分布函数：随机过程(t)的一维概率密度函数：3.1.1随机过程的分布函数5随机过程(t)的二维分布函数：随机过程(t)的二维概率密度函数：随机过程(t)的n维分布函数：随机过程(t)的n维概率密度函数：3.1.1随机过程的分布函数6均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其均值3

3、.1.2随机过程的数字特征(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。a(t)7方差方差常记为2(t)。这里也把任意时刻t1直接写成了t。因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。均方值均值平方3.1.2随机过程的数字特征8相关函数R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。协方差函数式中a(t1)a(t2)－在t1和t2时刻得到的(t)的均值f2(x1,x2;t1,t2)－(t)的二维概率

4、密度函数。3.1.2随机过程的数字特征9相关函数和协方差函数之间的关系若a(t1)=0或a(t2)＝0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)互相关函数式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。R(t1,t2)又称为自相关函数。3.1.2随机过程的数字特征103.2.1平稳随机过程的定义若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。3.2平稳随机过程11平稳随机过程的统计特性不

5、随时间的推移而改变。它的一维分布函数与时间t无关：二维分布函数只与时间间隔=t2–t1有关：性质12数字特征：可见，（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。广义平稳随机过程——同时满足（1）和（2）的随机过程。严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。13能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳随机过程的数字特征呢?具有“各态历经性”（又称“遍历性”）的随机过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。3.2.2各

6、态历经性14各态历经性条件设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本）时间均值的定义：时间相关函数的定义：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。3.2.2各态历经性15“各态历经”的含义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。各态历经平稳过程在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般

7、均能满足各态历经条件。3.2.2各态历经性16[例3-1]设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。【解】(1)先求(t)的统计平均值，证明其平稳性：数学期望例题17自相关函数令t2–t1=，得到可见，(t)的数学期望为常数，自相关函数与t无关，只与时间间隔有关，所以(t)是广义平稳过程。例题18(2)再求(t)的时间平均值，证明其各态历经性比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。例题

8、19实平稳过程的自相关函数：性质：—(t)的平均功率—的偶函数—R()的上界自相关函数R()在=0有最大值。—(t)的直流功率—(t)的交流功率当均值为0时，R(0)=23.2.3平稳过程的自相关函数20对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为FT(f)是f(t)的截短函数fT(t)所对应的频谱函数平稳随机过程(t)的功率谱密度定义为：3.2.4平稳过程的功率谱密度21维纳-辛钦关系功率谱密度的计算22平稳过程的总功率：——频域的平均功率计算法。各态历经过程的任一样