3.2柯西积分公式 牛顿-莱布尼茨公式

《3.2柯西积分公式 牛顿-莱布尼茨公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章复变函数的积分第3.2节Cauchy积分定理柯西定理定理3.1设f(z)是单连通区域D的解析函数，（1）设C是D内任一条简单闭曲线，那么其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。（2）C是在D内连接及z两点的任一条简单曲线，那么沿C从到z的积分值由及z所确定，而不依赖于曲线C，这时，积分记为.柯西定理的证明：证明：先证明(1)成立。在C上任取一点，可以作出圆盘：因为圆盘是凸区域，由引理2.2，f(z)在内有原函数。由于C是一个紧集，由数学分析中的有限覆盖定理，存在有限个圆盘覆盖了C；把这些圆盘按反时针方向依次排列为柯西定理的证明：并且用表示f

2、(z)在这些圆盘中的原函数。取其中是C上依序按反时针方向取的。由引理2.3，有柯西定理的证明这里，用表示沿C从的弧上的积分，用表示从的线段上的积分。由引理2.3，有因为构成中的一条闭合折线，所以由引理2.1，得柯西定理证明下面证明（2）成立。设是在D内连接及z两点的另一条简单曲线。则是D内的一条简单闭曲线，由（1），有而所以定理的结论成立。定理3.1‘定理3.1’设C是一条简单闭曲线，函数f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么定理3.2设f(z)是单连通区域D的解析函数，那么f(z)在D内有原函数。证明：取定，由定理3.1，得是在D内确定

3、的一个函数。取充分接近，把定理3.2的证明：D中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其中一条是另一条曲线与连接及z的线段的并集。于是有这里积分是沿及z的联线取的，同样可证，有例1例1、设D是不含a的一个单连通区域，并且那么其中m是不等于1的整数。另外，还设D在复平面上沿从a出发的任何射线割开而得得区域内，我们有其中对数应理解为Ln(z-a)在D内的一个解析分支在z及的值。柯西定理的注解：注解1、我们可以用原函数求解析函数的积分；注解2、区域的单连通性不能直接取掉。注解3、柯西定理可以推广到多连通区域：设有n+1条简单闭曲线曲线中每一条都在其余曲线的

4、外区域内，而且所有这些曲线都在的内区域，围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个闭区域。柯西定理的注解：设f(z)在上解析，那么令C表示D的全部边界，我们有其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。即沿按反时针方向，沿按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一同运动时，区域D总在它的左侧。因此柯西定理的注解：也有：柯西定理的注解：注解4、上面规定区域D的方向称为正向，以后，我们总是规定取正向，除非另有说明；注解5、多连通区域内的不定积分与多值函数：设f(z)是多连通区域D的解析函数。在D内作连接及z两点的任一条简单曲线。在某两条这

5、样的曲线所包成的闭区域上，f(z)可能不解析，因此不能应用柯西定理，所以f(z)沿这两条曲线的积分可能不相等。假定这两个积分不相等。那么函数：是多值的。柯西定理的注解：可是z当属于包含在D内的某一单连通区域D’时，取曲线如下：从沿一个固定的简单曲线到D’内一点，然后从沿在D’内一条简单曲线到z。沿这种曲线取积分所得的函数F(z)在D’内解析。改变从的曲线，我们能够得到不同的解析函数；它们是F(z)在D’内的不同解析分支。作连接的两条简单曲线，取定Argz在的值为。例2：例2、在圆环内解析，在D内取定两点当z沿从连续变动到时，z的幅角从连续变动到。

6、于是当z沿从连续变动到时，z的幅角从连续变动到。例2现在求沿的积分。令，则从而例2：同样求得这样，在含的一个单连通区域（在D内）内，相应，多值函数有两个不同的解析分支相应于连接的其它曲线，还可得到F(z)在D内的其它解析分支，F(z)就是对数函数。