重积分 高等数学(同济大学)课件new

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1、主讲：汪强注意上课听讲！重积分上课！不准笑...第九章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质第九章解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”机动目录上页下页返回结束1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个

2、3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动目录上页下页返回结束4)“取极限”令机动目录上页下页返回结束2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.机动目录上页下页返回结束2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量机动目录上页下页返回结束两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶

3、柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在

4、有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.机动目录上页下页返回结束三、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则机动目录上页下页返回结束特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有机动目录上页下页返回结束7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动目录上页下页返回结束例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束例2.判断积分的正负号

5、.解:分积分域为则原式=猜想结果为负但不好估计.舍去此项机动目录上页下页返回结束例3.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D机动目录上页下页返回结束8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有机动目录上页下页返回结束四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的机动目录上页下页返回结束同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算机动目录上页下页返回结束例4.求两个底圆

6、半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动目录上页下页返回结束内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法机动目录上页下页返回结束被积函数相同,且非负,思考与练习解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:机动目录上页下页返回结束2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0

7、利用题中x,y位置的对称性,有又D的面积为1,故结论成立.机动目录上页下页返回结束P782，4，5P951(1),8第二节目录上页下页返回结束作业备用题1.估计的值,其中D为解:被积函数D的面积的最大值的最小值机动目录上页下页返回结束2.判断的正负.解：当时，故又当时，于是机动目录上页下页返回结束第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算机动目录上页下页返回结束三重积分第九章一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法

8、:质量M.密度函数为机动目录上页下页返回结束定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性