离散数学03-谓词逻辑

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1、北京交通大学软件学院电子教案离散结构8/5/20211第五讲谓词逻辑在Ls中，把命题分解到原子命题为止，认为原子命题是不能再分解的，仅仅研究以原子命题为基本单位的复合命题之间的逻辑关系和推理。这样，有些推理用命题逻辑就难以确切地表示出来。例如，著名的亚里士多德三段论苏格拉底推理：所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。根据常识，认为这个推理是正确的。但是，若用Ls来表示，设P、Q和R分别表示这三个原子命题，则有P，QR然而，(P∧Q)→R并不是永真式，故上述推理形式又是错误的。一个推

2、理，得出矛盾的结论，问题在哪里呢?问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间，而是体现在构成原子命题的内部成分之间，即体现在命题结构的更深层次上。对此，Ls是无能为力的。所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作进一步分析，分析出其中的个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是谓词逻辑（简称为Lp）的基本内容。5.1个体、谓词和量词5.2谓词公式与翻译5.3约束变元与自由变元5.4公式解释与类型5.5等价式与蕴涵式5.6谓词公式范式5.7谓词逻辑

3、的推理理论5.1个体、谓词和量词在Lp中，命题是具有真假意义的陈述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。在Lp中，为揭示命题内部结构及其不同命题的内部结构关系，就按照这两部分对命题进行分析，并且把主语称为个体或客体，把谓语称为谓词。１.个体、谓词和命题的谓词形式定义5.1.1在原子命题中，所描述的对象称为个体；用以描述个体的性质或个体间关系的部分，称为谓词。个体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。表示特定的个体，称为个体常元，以a，b，c…或带下

4、标的ai，bi，ci…表示；表示不确定的个体，称为个体变元，以x，y，z…或xi，yi，zi…表示。谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了个体性质；当与两个或两个以上个体相联系时，它刻划了个体之间的关系。表示特定谓词，称为谓词常元，表示不确定的谓词，称为谓词变元，都用大写英文字母，如P，Q，R，…，或其带上、下标来表示。在本书中，不对谓词变元作更多地讨论。对于给定的命题，当用表示其个体的小写字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定把小写字母写在大写字母右侧的圆括号()内。例如，在命题“张明是位大学生”中，“

5、张明”是个体，“是位大学生”是谓词，它刻划了“张明”的性质。设S：是位大学生，c：张明，则“张明是位大学生”可表示为S(c)，或者写成S(c)：张明是位大学生。又如，在命题“武汉位于北京和广州之间”中，武汉、北京和广州是三个个体，而“…位于…和…之间”是谓词，它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。设P：…位于…和…之间，a：武汉，b：北京，c：广州，则P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。定义5.1.2一个原子命题用一个谓词(如P)和n个有次序的个体常元(如a1，a2，…，an)表示成P(a1，a2，…

6、，an)，称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。应注意的是，命题的谓词形式中的个体出现的次序影响命题的真值，不是随意变动，否则真值会有变化。如上述例子中，P(b,a,c)是假。２.原子谓词公式原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象，比如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常元被替换成个体变元，如x1,x2,···,xn，这样便得了一种关于命题结构的新表达形式，称之为n元原子谓词。定义5.1.3由一个谓词(如P)和n个体变元(如x1，x2，…，xn)组成的P(x1，x2，…，xn)，称它为n元原子谓词或n元

7、命题函数，简称n元谓词。而个体变元的论述范围，称为个体域或论域。当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二元谓词，…。特别地，当n=0，称为零元谓词。零元谓词是命题，这样命题与谓词就得到了统一。n元谓词不是命题，只有其中的个体变元用特定个体或个体常元替代时，才能成为一个命题。但个体变元在哪些论域取特定的值，对命题的真值极有影响。例如，令S(x)：x是大学生。若x的论域为某大学的计算机系中的全体同学，则S(x)是真的；若x的论域是某中学的全体学生，则S(x)是假的；若x的论域是某剧场中的观众，且观众中有大学

8、生也有非大学生的其它观众，则S(x)是真值是不确定的。通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一起作为它的论域，称为n元谓词的全总论域。定义了全总论域，为深入研究命题提供了方便。当一个命题没有指明论域时，一般都从全总论域作为其论域。而这时又常常要采用一个谓词如P(x)来限制个体变元x的取值范围，并把P(x)称为特性谓词。３.量词利用n元谓词和它的论域概念，有时还是不能用符号来很准确地表达某些命题，例如S(x)表示x是大学生