离散第3讲半群和群的定义和性质

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1、2021/7/141主要内容半群独异点群2021/7/142半群定义10.1(1)：是一个代数系统，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算(运算*是封闭的)，如果运算*是可结合的，即对任意的x,y,z∈S，满足(x*y)*z=x*(y*z)则称代数系统为半群。2021/7/143例10.1Sk={x

2、x∈Z∧x≥k}，为半群，不是半群2021/7/144例10.2Σ={a,b}，Σ+为所有由a,b组成的字符串,”·”为字符串的连接运算.则<Σ+,·>做成半群。2021/7/145独异点定义10.

3、1(2)：设是一个半群，若存在eS为S中关于运算*的单位元,则称为幺半群，也叫做独异点。(有时也把单位元标明)2021/7/146例10.1Sk={x

4、x∈Z∧x≥k}，(k>0)？？不是独异点是独异点2021/7/147例10.2Σ={a,b}，Σ+为所有由a,b组成的字符串,”·”为字符串的连接运算.思考：半群<Σ+,·>是否做成独异点？空串Σ*=Σ+{}<Σ*,·>做成独异点2021/7/148例10.3幂集？？？2021/7/14

5、910.4*αβγδζααβγδζββγδζαγγδζαβδδζαβγζζαβγδ是单位元可结合性在运算表中无特殊体现2021/7/1410群(Group)定义10.1（3）：设是一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，如果(1).运算*是封闭的(2).运算*是可结合的(3).存在单位元e(4).对于每一个元素x∈G，存在着它的逆元x-1则称是一个群2021/7/1411例10.1Sk={x

6、x∈Z∧x≥k}，(k>0)？？不是群不是群是群2021/7/1412例10.2Σ={a,

7、b}，Σ+为所有由a,b组成的字符串,”·”为字符串的连接运算.空串Σ*=Σ+{}<Σ*,·>思考：独异点<Σ*,·>是否做成群？2021/7/1413例10.3幂集？？？单位元和逆元?2021/7/1414例10.4(1-2)(1)整数加群(2)模n整数加群思考:是不是群?2021/7/1415例10.4(3-6)(3)n阶实矩阵加群(4)n阶实可逆矩阵乘法群；(5)所有行列式为1的n阶实可逆矩阵关于矩阵乘法；(6)集合A

8、={1,2,3}上所有的双射函数构成集合S3,则关于映射的复合作成群.2021/7/1416例10.5Klein四元群G={e,a,b,c}eabceeabcaaecbbbceaccbae2021/7/1417例10.5(2)Klein四元群G={e,a,b,c}e=(0,0)a=(0,1)b=(1,0)c=(1,1)运算º为逐分量模2加法,2021/7/1418群的等价定义定理(等价定义),∘可结合，若存在右单位元e，且每个元素a相对于e存在右逆元a’，则G是群.证明:封闭性可结合性单位元？逆元？2021/7/1419群的等价定义定理

9、(等价定义),∘可结合，若存在右单位元e，且每个元素a相对于e存在右逆元a'，则G是群.证明:证e为左单位元.∀a∈G,（要证ea=a）ee=e(e为右单位元)⇒e(aa')=(aa')⇒(ea)a'=aa'⇒ea=a(右乘a'的右逆元)证a'为a的左逆元，设a'a''=ea''=ea''=(aa')a''=a(a'a'')=ae=a2021/7/1420群的性质（一元一次方程有解）性质1：设是一个群，任给a,b∈G，必存在唯一的x∈G，使得a*x=b；必存在唯一的x∈G，s.t.y*a=b.证a-1b是ax=b的解.假设c为解，

10、则c=ec=(a-1a)c=a-1(ac)=a-1b2021/7/1421群的等价定义2定义：设是一个半群，a,b∈G，方程a*x=b和y*a=b在G中有解，则G是群。证找右单位元和任意元素的右逆元.任取b∈G,方程bx=b的解记为e.∀a∈G,yb=a的解记为c,即cb=a.ae=(cb)e=c(be)=cb=ae为右单位元.∀a∈G,方程ax=e有解，得到a的右逆元2021/7/1422群的相关术语平凡群只含单位元的群{e}有限群与无限群群G的阶G的基数，通常有限群记为

11、G

12、交换群或阿贝尔（Abel）群2021/7/1423例10.6

13、（交换群）(1)无限群;(2)模6整数加群，阶为6(3)模4整数加群，