电磁场第二章 静电场

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1、主讲：刘万东教授研究生学位课程（2）电磁场理论TheoryofElectromagneticfields哈工大江滨浩教授第二章静电场2.1静电场基本方程组2.2静电位及泊松方程2.3静电场的唯一性定理2.4镜像法2.5格林函数2.6静电场的能和力2.7多极展开静电场基本方程组静止电荷产生的场－静电场,是电荷分布与电场的稳定平衡状态下的场当体系不随时间变化时，，麦氏方程组中的电场可以分离为衔接条件导体情况：且有注：导体的介电常数或？？电位函数又静电场是无旋场，故可引入标量场，静电位矢量分析中的霍姆赫兹定理：任意矢量可表示为若取无穷远点电位为零定义分析：电力线与等位面

2、的关系电位参考点的可选择性－位函数矢量恒等式任意标量函数均满足，故应限定电位差给定电荷分布的静电位通常电荷分布和电场是耦合的，不能事先确定（尤其是极化电荷）若电荷分布给定，则静电位可以直接求出：此式不是求解电场的有效表达式，？？泊松方程描述均匀、各向同性、线性介质中静电场的基本方程：泊松（拉普拉斯）方程－求解稳定场的泛定方程对各向同性、线性介质，均匀介质时当时边值问题＝泛定方程＋边值条件（定解条件）泊松方程（Poisson）拉普拉斯方程，通常的情况静电位的边值关系电位连续保证了电场平行分量连续电位的边值关系(1)电位是连续的边界处电场是有限的(2)电位法向梯度值变

3、化与面电荷有关唯一性定理的表述(1)在区域中每个均匀的子区域内满足泊松方程：空间区域内静电场唯一确定的条件为：(2)在区域中每两子区域边界上满足边值条件：（n由i区域指向j区域）(4)给定区域表面上或之值(3)已知区域内的电荷密度、；适定性问题？－第一类边界条件－第二类边界条件唯一性定理的证明设有、同时满足上述条件，令：,则子区域1子区域2子区域3子区域4♨3(1)在任一子区域内：(2)在子区域界面上：(3)区域表面上:或♨1因再故导体存在时唯一性定理（1）导体内部电场为零，导体是等位体（2）电荷以面电荷形式分布于表面导体的静电平衡条件：对给定电位值，将导体看成是

4、区域边界之一即可若区域中存在导体，给定导体上的电位值或总电荷值其他区域条件如前述，则电场唯一确定。导体内电场为零对给定电荷值，只要包围导体的表面有：♨第二类边界条件例：静电屏蔽之解释唯一性定理说：S面内的电场由内部电荷及S上的电位决定。（与外面的电荷及电场无关）不影响S面内部（与接地无关）不影响S面外部++++课堂休息课堂休息（1）边值问题解析法概述－分离变量法：多变量的齐次偏微分方程单变量的常微分方程组，求解满足边界条件的常微分方程的特解关键点：选择合适的坐标系，边界面与坐标面部分重合－复变函数法：复位函数法、保角变换法－适合处理复杂边界（二维）情况＋镜像法：将

5、边界上的感应电荷(电流)对场的贡献用所求区域之外的集中电荷的场来表示，利用边界条件来确定集中电荷(镜像电荷）的位置和量值＋格林函数法：利用单位点源的解－格林函数和叠加原理来解决一般电荷分布的普遍边值问题__镜像法（1）例：接地无限大导体板附近一点电荷，求空间电位。设电荷位置：则在处设置,可取消导体表面。唯一性保证了上式为所求问题之解（除点电荷处）边值问题：镜像法（2）例：接地导体球外一点电荷，求空间电位。电荷位置设镜像电荷在处，电荷为。边值问题：镜像法（3）例：不接地导体球外一点电荷，求空间电位。电荷位置设两个镜像电荷，分别在处，电荷为。边值问题：试确定如下镜像电

6、荷的个数，大小与位置点电荷密度的函数表示电荷为的点电荷密度，记为：函数应具有下面性质：函数的选择性质：三维函数，函数有量纲中值定理以泛函定义的广义函数函数是通过如下正则泛函定义的函数之特例：其中是普通函数可以是广义函数若对任意的，有：广义函数的微商：阶跃（Heaviside）函数：用普通函数微商定义广义函数微商格林函数位于点的单位点电荷产生的电位满足方程：则在为边界的区域中，有唯一的解。称此解为此区域内的格林（Green）函数第一类格林函数：第二类格林函数：加上边界条件：或(常数）格林公式对区域内任意两函数、，有：证明：利用Green函数求解任意电荷分布的泊松方程

7、（Green函数法）格林（Green）公式第一类边值问题若给定区域内电荷分布，同时给定第一类边值条件，即：令：由Green公式：体电荷贡献面电荷贡献第二类边值问题若给定区域内电荷分布，同时给定第二类边值条件，即：令：由Green公式：对外问题平均值体电荷贡献面电荷贡献半无限空间第一类格林函数半无限空间的第一类格林函数：源电荷贡献感应面电荷贡献球形空间第二类格林函数球外区域的第二类格林函数：镜像电荷－面电荷贡献课堂休息（2）静电场的能量例：荷电孤立导体球静电能静电场的能量电场能量体密度♨仅对静电场成立，不代表能量密度电导体系静电能外场中电荷系统的能量电荷系统与外场的

8、相互作用能