线性代数课件-2.5逆矩阵

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1、§2·5逆矩阵在实数运算中，若a≠0，则总能找到一个数b,使得ab=ba=1，称b为a的逆。定义2·14对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并称B为A的逆矩阵。定义2·14的说明：（1）逆矩阵只对方阵而言，且B与A为同阶方阵（2）A、B互为逆矩阵。（3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的(因为若B、C都是A的逆矩阵，则有AB=BA=E,AC=CA=E于是B,即记为即若则=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C）例如由于=E且=E所以A可逆，B为A的逆矩阵即同时【例1】设对角矩阵，其中证明A可逆，且证明：因为=E且=E

2、所以，A可逆，且[例（补）]设方阵A满足证明2A+E可逆，且故2A+E可逆，且且证明：因为逆矩阵的运算公式：3、若A可逆，则可逆，且2、若A可逆，则1、若A可逆，则4、若A可逆，数则可逆，且5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且3、若A可逆，则可逆，且证明：且即故可逆，且4、若A可逆，数则可逆，且证明：且即故可逆，且注意：若A、B不是同阶方阵，该结论不成立5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且证明：且即故AB可逆。且因为当时，但A-1和B-1没意义AB为n阶方阵，AB有可能可逆，判断题：1、若A、B都是可逆矩阵，则A+B也是可逆矩

3、阵。2、若AB是可逆矩阵，则A、B也都是可逆矩阵。3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵，则A、B中至少有一个是不可逆矩阵。4、若A是可逆矩阵，且AX=AY，则X=Y√××（因为A、B有可能都不是方阵）√证明题：设方阵A满足证明A可逆，且故A可逆，且且因为§2·5逆矩阵定义2·14对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并称B为A的逆矩阵。,即记为定义2·14的说明：（1）逆矩阵只对方阵而言，且B与A为同阶方阵（2）A、B互为逆矩阵。（3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的即若则上堂课主要内容：逆矩阵的运算公式：3、若A可逆，则

4、可逆，且2、若A可逆，则1、若A可逆，则4、若A可逆，数则可逆，且5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且定义2·15设是n阶方阵A的行列式中元素的代数余子式，称矩阵为矩阵A的伴随矩阵元素的代数余子式=一个数Tn-1阶行列式例如则对有使得且即0…00…000…………定理2·1n阶方阵A可逆的充要条件是且当A可逆时证明则存在，使得必要性：已知A可逆，又因为充分性：已知，由关系式即A可逆，且例：判断矩阵若可逆，求其逆。所以A可逆，所以是否可逆，解因为且=1≠0【例2】设，判断A是否可逆，若可逆，求其逆。解：=5≠0，A可逆。且所以课堂练习设

5、，判断A是否可逆，若可逆，求其逆。解：所以A可逆，推论若A、B为同阶方阵，且AB=E,则A、B均可逆，且证明：因为A、B为同阶方阵且AB=E有由定理2·1知，A、B均可逆在等式AB=E的两边左乘得在等式AB=E的两边右乘得【例（补）】已知n阶方阵A满足2A(A-E)=A3,证明E-A可逆，且证明：可逆，且由推论知：【例3】设方阵A满足证明A及A+2E可逆，并求它们的逆。证明：故A可逆，且又故A+2E可逆，且=O=O由【例4】设分块矩阵,其中A为k阶可逆方阵，B为k×r阶矩阵，C为r阶可逆矩阵,O为r×k阶矩阵。证明矩阵H可逆，并求其逆。证

6、明：因为A、C可逆，所以于是即H可逆设其中X11、X22分别是与A、C同阶的方阵则有即故（A、C可逆）特别地，当B=O，且A、C可逆时有推广至准对角矩阵，有若，Ai为可逆方阵则A可逆，且【例（补）】Cramer法则的另一种证明方法定理1·6（Cramer法则)若n元线性方程组的系数行列式则该方程组有唯一解，且解为AX=B，A为n阶方阵系数行列式A可逆方程AX=B两边左乘，即即是方程组的一个解。若Y也是方程组的一个解，则有AY=B即是方程组的唯一解。判断题：1、n阶方阵A可逆的充要条件是A是非奇异的2、若A2不可逆，则A一定不可逆3、设A为

7、n阶方阵，且，若存在B，使AB=O成立，则有B=O。√因为A可逆的A是非奇异的√因为若A2不可逆，则，A不可逆√因为若，则A可逆则有A-1AB=A-1O成立，即B=O【例（补）】设A为n阶可逆方阵（1）求（2）证明A*可逆，并求其逆解：因为A可逆，所以（2）由即A*可逆，且（1）由补充习题：设方阵A满足,证明A-6E及A+4E可逆，并求它们的逆。归纳：主要概念：其中是A的行列式中元素的代数余子式2、伴随矩阵：对n阶方阵A，有1、逆矩阵：对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并称B为A的逆矩阵。,即记为伴随矩阵逆矩

8、阵的运算公式：3、若A可逆，则可逆，且2、若A可逆，则1、若A可逆，则4、若A可逆，数则可逆，且5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且1、n阶方阵A与其伴随矩阵的关系2、n阶方阵A可逆的充