矩阵对角化方法的研究

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1、矩阵对角化方法的研究目录摘要IAbstract.II第一章绪论11.1引言11.2预备知识11.2.1可对角化概念及判断是否可对角化相关知识：11.2.2相关结论知识：2第二章矩阵对角化方法探究52.1矩阵对角化的方法52.1.1一般矩阵的3种对角化方法52.1.2实对称矩阵的对角化10第三章运用143.1已知特征值和特征向量，求原矩阵143.2计算方阵的高次幂14参考文献:17致谢18.2矩阵对角化方法的研究矩阵对角化方法的研究学生：胡邦群指导教师：何聪教师摘要对角矩阵是矩阵中形式最为简单但其地位却十分重要，因此对矩阵对角化问题的研究很有价值。本文主要介绍了对于一般矩阵的3

2、种对角化方法并对实对称矩阵的对角化方法以及对角矩阵的运用做了相关补充，同时配例题加以阐述。关键词:特征值；特征向量；可对角化；矩阵初等变化；正交变换；线性无关II矩阵对角化方法的研究STUDYOFMATRIXDIAGONALIZATIONMETHODStudent:HuBangqunSupervisor:HeCongAbstractDiagonalmatrixisthematrixformofthemostsimple,butitspositionisveryimportant.SothestudytorqueAngleproblemarevaluable.Thispaper

3、mainlyintroducesthethreemethodsandthegeneralmatrixofrealsymmetricmatricesdiagonalizationmethodaswellastheapplicationofdiagonalmatrixmaderelevantsupplement,atthesametimearediscussedwithexamples.Keywords:Thecharacteristicvalue;Thefeaturevectors;Candiagonalization;Matrixelementarychange;Orthog

4、onaltransformation;LinearlyindependentII矩阵对角化方法的研究第一章绪论1.1引言 对角矩阵在矩阵理论意义非凡，因而探究矩阵对角化方法很有实用价值。主要表现在：利用合同关系化解二次型矩阵以及在不同基下矩阵具有相似的特征。基于这些知识我们可以很方便求矩阵的方幂，方阵的逆和行列式等问题，再者，我们知道在复数域C上矩阵一定与上（下）三角阵（若尔当矩阵）相似，但仅在某种特定的条件下才可相似于对角阵。本文着重介绍一般矩阵对角化的三种方法：一、利用特征值和特征向量将矩阵对角化，二、利用矩阵的初等变换将矩阵对角化，三、利用矩阵的乘法运算将矩阵对角化。然

5、后又对实对称矩阵的对角化方法作了补充，并对对角矩阵的运用作了适当阐述，同时用例子加以说明。1.2预备知识为了更加严密的阐述本文，特此摘录了相关定义、定理、结论：1.2.1可对角化概念及判断是否可对角化相关知识：对角矩阵：是一个主对角线之外的元素皆为零的矩阵，对角线上的元素可以为零或其值。定义1：设，若存在的一组基使得在这组基下的矩阵为对角矩阵，那么我们就说是一个可对角化的线性变换。以上定义等价于:定义2设，若存在一可逆矩阵使得那么就说是一个可对角化矩阵。特别说明:若令，那么定义2中的式子等价于即:可逆矩阵使得第列是矩阵的属于特征值的特征向量。性质定理:18矩阵对角化方法的研究

6、设那么定理1若或在数域中有个互异的特征值，那么或可对角化。定理2或可对角化的充要条件为当或有个线性无关的特征向量。定理3或可对角化的充要条件为当任意特征值，特征根的几何重数等于其对应的代数重数，即的重数。定理4或可对角化的充要条件为当或的最小多项式没有重根。定理5或可对角化的充要条件为当其中是或的互异的特征值。定理6或可对角化的充要条件是当对任意，有秩的重数。定理7矩阵可对角化的充要条件为的不变因子没有重根。定理8矩阵可对角化的充要条件为的初等因子全为一次。1.2.2相关结论知识：结论1.对于任一个阶实对称矩阵，一定存在阶正交矩阵使得为对角矩阵。证明：对阶数作数学归纳法。当时

7、显然成立。假设当取阶实对称矩阵成立，即存在阶正交矩阵使得表示对角矩阵，再证明阶实对称矩阵也成立设是的一个特征值，是属于的特征向量，那么由于特征向量的倍数任为特征向量，故可设为单位向量，再将其扩充为上一组标准正交基，以为第一列，以这个正交单位向量为列构成一个正交矩阵，其中不一定为的特征向量，于是有及18矩阵对角化方法的研究因为为正交矩阵，所以有，且为标准正交向量组，于是第一列为因此可得由，又为实对称矩阵所以有得为对称矩阵，于是为阶实对称矩阵，而由归纳假设知存在阶正交矩阵使得不妨令易得，即是正交矩阵，且有1