变换域处理拉氏变换与z变换

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1、第五章变换域处理—拉氏变换与Z变换赵明2021/7/25信号分析与处理-变换域处理2变换域处理的课程构成拉普拉斯变换连续时间信号Z变换离散时间信号拉普拉斯变换、z变换以及傅立叶变换之间的关系2021/7/25信号分析与处理-变换域处理3拉普拉斯变换何谓拉普拉斯变换一个线性时不变系统对于复指数信号输入，输出是复指数信号的倍数，该倍数是一个由复指数决定的参数拉普拉斯变换定义2021/7/25信号分析与处理-变换域处理4拉普拉斯变换的讨论拉普拉斯变换与傅立叶变换拉普拉斯变换在s=jω就是傅立叶变换2021/7/25信号分析与处理-变换域处理5拉普拉斯变换举例的拉普拉

2、斯变换若当Re{s}>-a时，拉普拉斯变换收敛提示：当Re{s}<-a时，这个信号的拉普拉斯变换不收敛2021/7/25信号分析与处理-变换域处理6拉普拉斯变换拉普拉斯变换收敛问题对于一个给定的信号，拉普拉斯变换可能在一个确定的区域收敛，在该区域之外不收敛该收敛区域称为收敛域(ROC)若s=jw收敛，则傅立叶变换存在，否则傅立叶变换不存在拉普拉斯变换的重要注意事项拉普拉斯变换的表达式相同的信号并不一定是同一个信号！当且仅当表达式和收敛域都完全一致时，原信号才是一致的信号2021/7/25信号分析与处理-变换域处理7拉普拉斯变换2021/7/25信号分析与处理-

3、变换域处理8拉普拉斯变换举例的拉普拉斯变换收敛域处理问题整个拉普拉斯变换收敛，需要2个项分别收敛！整体代入变换公式2021/7/25信号分析与处理-变换域处理9拉普拉斯变换举例的拉普拉斯变换ImRe2021/7/25信号分析与处理-变换域处理10X(s)的代数表达式本身并不能确定其拉氏变换的收敛域。一个有理拉氏变换的完全表征是由该变换的零极点图与它的ROC一起组成的。代数式可以方便地指明无限远的极点或零点2021/7/25信号分析与处理-变换域处理11拉普拉斯变换收敛域相关性质收敛域在s平面内由平行于jω的带状区域组成该条件只与有关。对于有理的拉普拉斯变换，R

4、OC内不包括任何极点信号持续期有限，而且是有界信号，其ROC是整个复平面证明：由：证明讨论2021/7/25信号分析与处理-变换域处理12拉普拉斯变换收敛域相关性质x(t)是右边信号，若某条Re{s}=a属于ROC，则该线的右边所有值都属于收敛域右边信号证明左边信号若某平行于虚轴的线属于收敛域，则该线左边的所有区域属于整个收敛域左边信号2021/7/25信号分析与处理-变换域处理13拉普拉斯变换的收敛域相关性质（续）x(t)是双边信号，若某条Re{s}=a属于ROC，则ROC一定是由S平面的一条带状区域组成，Re{s}=a在带内。证明举例若拉普拉斯变换是有理的

5、，则ROC由极点和+∞，-∞所界定，收敛域中不包含任何极点若拉普拉斯变换是有理的，且右边信号，那收敛域是最右边极点和+∞包含的区域，左边信号则是最左边极点和-∞包含的区域2021/7/25信号分析与处理-变换域处理14拉普拉斯变换的收敛域相关举例ImReImReImReImRe2021/7/25信号分析与处理-变换域处理15拉普拉斯反变换拉普拉斯变换反变换来源拉普拉斯变换可以看作是信号x(t)exp(-σt)的傅立叶变换利用傅立叶反变换公式可以得到：进一步变量替换：2021/7/25信号分析与处理-变换域处理16拉普拉斯反变换积分路径积分路径必须选择收敛域内任

6、一平行于虚轴的直线不同的收敛域，同样的拉普拉斯变换表达式，对应着完全不同的信号有理分式的拉普变换反变换利用部分分式展开的办法求解反变换2021/7/25信号分析与处理-变换域处理17拉普拉斯变换的反变换举例Im-2-1Re解：ROC:Re{s}>-12021/7/25信号分析与处理-变换域处理18拉普拉斯变换的反变换Im-2-1ReIm-2-1Re2021/7/25信号分析与处理-变换域处理19常用的拉普拉斯变换对2021/7/25信号分析与处理-变换域处理20傅里叶变换的几何求值方法拉普拉斯变换的决定因素表达式由零极点确定相对幅度收敛域仍然由零极点确定几何求

7、值利用零极点确定傅里叶变换结果2021/7/25信号分析与处理-变换域处理21傅里叶变换的几何求值方法考虑s=s1的拉普拉斯变换值简单看：该数值等于s=s1与各零点构成的向量的乘积除以该点与极点构成的向量的乘积—几何求值2021/7/25信号分析与处理-变换域处理22傅里叶变换的几何求值方法讨论一下对于回顾傅里叶变换的收敛性，P207几何求值法的用途往往在于用它观察系统的整体特性，如后面介绍2021/7/25信号分析与处理-变换域处理23一阶系统一阶系统微分方程通常表达为一阶系统频率响应为：单位冲击响应为：阶跃响应为：为时间常数，越小，冲击响应衰减越快。的拉氏

8、变换为：极点向量的模：随着增加而单调下