导数的应用(-)

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1、二、利用导数研究函数的极值1．极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都x0点的函数值，称为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值为函数的极大值．2．极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都x0点的函数值，称为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．3．极值：与统称为极值，与统称为极值点．[小题能否全取]1．(教材习题改编)函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是(　　)A．增加的B．减少的C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减

2、D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)A．1个　　　　　B．2个C．3个D．4个3．(2012·辽宁高考)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)4．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则(　　)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点5．

3、已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．1.f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处的导数为0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点

4、也可能是函数的极值点．运用导数解决函数的单调性问题[例1]　(2012·山东高考改编)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干

5、个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．1．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．运用导数解决函数的极值问题[例2]　(2012·江苏高考)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x

6、3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．求函数极值点的步骤(1)确定函数的定义域；(2)解方程f′(x)＝0；(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．2．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋b

7、x2＋x的两个极值点．（1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．函数单调性与极值的综合问题[例3]　(2012·兰州调研)已知实数a>0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求实数a的值．1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．3．函数f(x)＝(a∈

8、R)．(1)若f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为，求实数a的值；(2)若f(x)在x＝1处取得极值，求函数f(x)的单调区间与极值．导数是解决函数问题的重要工具，利用导数解决函数的单调性问题、求函数极值、最值及解决生活中的最优化问题，是高考