二项式定理题型分类解析

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1、二项式定理题型分类解析二项式定理是高中数学的一个重要内容，高考试题中几乎年年有，考查的题型主要是选择题和填空题，多是容易题和中等难度的试题，但有时综合解答题也涉及到二项式定理的应用。一.求特殊项此类问题一般由通项入手，根据题意，设未知数，建立方程求解。例1.已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。分析：依条件可得关于n的方程求出n，然后写出通项，讨论常数项和有理项对r的限制。解：依题意，前三项系数的绝对值分别为1，且即解得n＝

2、8或n＝1（舍去）（1）若为常数项，当且仅当，即，而，这不可能，故展开式中没有常数项。（2）若为有理数，当且仅当为整数。，即展开式中的有理项共有三项，评注：此类问题都由通项入手，依条件列出方程并结合题意讨论，但要注意常数项和有理项概念的区别。二.求二项式系数或展开式中的项的系数展开式中二项式系数或展开式中的项的系数与通项有密切的联系，在通项公式中，一定要注意正、负，结合题意易获得。例2.求展开式的：（1）第6项的二项式系数；（2）第3项的系数；（3）的系数。分析：（1）由二项式定理及展开式的通项

3、公式易得：第6项的二项式系数为；3（2），故第3项的系数为9；（3），令，故r＝3，所求系数是评注：求二项式系数或展开式中的项的系数可直接由通项公式得出，但要注意这两个概念的区别。三.求相关元素此类问题一般是根据已知条件列出等式，进而解得所要求的元素。例3.设，的展开式中的系数为，则n＝________。分析：，则的系数为展开整理得：解得n＝4四.求证整除、求余数例4.求证：能被7整除。分析：，除以外各项都能被7整除。又显然能被7整除，所以能被7整除。例5.求除以100的余数。分析：由此可见，除

4、后两项外均能被100整除，而故除以100的余数为81。评注：利用二项式定理解决有关多项式的整除、余数问题，关键是将所给多项式中的幂通过恒等变形变为二项式形式，使幂的底数的两项中一项含有除式（或除式的因式），而另一项的绝对值较小，然后展开证明、求解。五.求近似值例6.求精确到0.01的近似值。分析：先将0.95化为二项代数和1－0.05，再利用二项式定理计算。解：又，而以后各项的绝对值更小。∴从第4项起，均可忽略不计。3评注：利用二项式定理求近似值，先将底数化为一个整数与一个绝对值较小的数的代数和

5、，再利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度。3