数学模型与数学建模 实验四

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1、实验报告四学院名称：理学院专业年级：姓名：学号：课程：数学模型与数学建模报告日期：2015年12月1日一、实验题目例2.1.1赛跑成绩与赛跑距离下面的表给出了1977年以前6个不同距离的中短赛跑成绩的世界纪录：距离10020040080010001500时间9.9519.7243.86102.4133.9212.1试用这些数据建模分析赛跑成绩与赛跑距离的关系。例2.1.4投资预测研究某地区实际投资额与国民生产总值（GNP）及物价指数（ICP）的关系，以便根据对未来国民生产生产总值及物价指数的估计，预测未来

2、的实际投资额。附：以往20年数据如表2.1.4所示：表：2.1.4某地区20年的投资额、与国民生产总值（GNP）及物价指数（ICP）投资额90.997.4113.5125.7122.8133.3149.3国民生产总值596.7637.7691.1756799873.4944物价指数0.71670.72770.74360.76760.79060.82540.8679投资额114.2166.4195229.8228.7206.1257.9国民生产总值992.71077.61185.91326.41434.21

3、549.21718物价指数0.91450.960111.05751.05751.15081.25791.3234投资额324.1386.6423401.9474.9424.5国民生产总值1918.32163.92417.82631.72954.73073物价指数1.40051.50421.63421.78421.95142.0688二、实验目的针对问题解决的目标，对实际情况先有一个大概的估计。随着信息量的增加，特别是数据的获取，就可以采用拟合模型与回归分析，或者采用插值模型与数值分析，使得到的结果更加丰富

4、。特别是，如果对表面现象产生的内在机理有所了解，就能够建立机理模型，则得到的结果更加科学靠谱。这次实验主要介绍如何运用数学软件进行模型组建，并结合数学理论分析求解模型。三、问题陈述第一题用所给数据数据建模分析赛跑成绩与赛跑距离的关系。第二题研究某地区实际投资额与国民生产总值（GNP）及物价指数（ICP）的关系，以便根据对未来国民生产生产总值及物价指数的估计，预测未来的实际投资额。四、模型及求解结果第一题共分4个步骤，分别叙述如下：步骤1在坐标系上画出观测数据的散点图：步骤2根据散点图，取线性拟合模型.步骤

5、3利用数据估计模型参数.就是在寻找超定方程（方程个数多于未知量的个数）的近似解，其中称为设计矩形。采用最小二乘法确定参数的估计值，也就是求拟合残差平方和的最小值点。下面利用Matlab指令完成参数估计。得到线性模型：。步骤4分析拟合效果，做拟合图结果如图所示：简单地根据拟合残差图和拟合残差平方和看，拟合的效果不是特别糟，但是，结果不符合实际，根据拟合得到的模型，当时，跑步时间，显然不正确。实际上当跑步距离为零时，所需要的时间也为零。在前面选择模型时没有考虑到实际问题这一基本要求，因此导致矛盾的结果。修正模

6、型，要求拟合函数满足条件,并根据散点图特点，取幂函数模型：。为了利用线性拟合指令，令，则幂函数拟合问题转变为线性拟合。于是得到幂函数模型，结果比较符合时间，但是这样的拟合得到的不是使得平方和达到最小的参数，为了改进拟合效果，可以进一步利用Matlab的非线性你和指令。由于非线性拟合求最小值点通常采用迭代逼近算法，需要先输入参数估计值作为初始值。因此选择前面通过线性化方法得到的参数拟合值作为下一步非线性拟合的参数初始估计值。这样得到幂函数模型：，残差平方和为，可见非线性拟合极大地改进了拟合效果。注意，拟合模

7、型通常也称为经验模型，换一组数据模型参数可能就会有些变化。第二题现在我国按图形分析法讨论问题，首先，表述问题，选择变量，为确定实际投资额对国民生产总值和物价指数的依赖关系，取实际投资额为因变量y，国民生产总值和物价指数分别为和，然后，进行数据描述性分析，由散点图可见y线性依赖和，而且变化趋势很相似，怀疑和之间存在共线性性质。画-散点图马上证实这一点.因此，实际投资额y可以表示成其中一个自变量的函数，选择国民生产总值，取线性模型做回归分析。结果如下表所示：参数估计值置信区间a2.8103-21.821427

8、.4420b0.15600.14130.1707,,,下图给出了残差图：虽然，拟合度接近于1，F统计量的概率值P<0.0001很小，但是参数估计的95%置信区间太大，而且含有零点，这意味着参数有可能取零值。特别是残差序列图出现异方差现象，残差散部的范围随着序列变化增大，这与回归分析成立的前提“残差具有零均值和均方差”想矛盾。考虑到投资额和国民生产总值这些数据都来自同一个个体的不同时间t的观测值，不同时间的数据之间可能存在相关性