近世代数课件--4.5多项式环的分解

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1、§5.多项式环的因子分解5.1基本结论5.2引理5.3结论的证明5.1基本结论我们将要得到的结果是：一个唯一分解环上的多元多项式环本身也是唯一分解环。5.2引理把一个素多项式叫做不可约多项式，把一个有真因子的多项式叫做可约多项式。定义的一个元叫做一个本原多项式，假如的系数的最大公因子是单位。引理1假定。那么是本原多项式，当而且只当和都是本原多项式的时候。证明若是是本原多项式，显然和也都是本原多项式。现在假定是两个本原多项式。如果不是本原多项式，那么有一个最大公因子d，d不是的单位。由于（B），，因而。这样，由于是唯一分解环，有一个

2、的素元可以整除d，因而可以整除每一个。这个不能整除所有的，也不能整除所有的，不然和不会是本原多项式。假定和各是和的头一个不能被整数的系数。是系数可以写成以下形式在这个式子里除了以外，每项都能被整除，所以也能被整除，因而由于是唯一分解环，或能被整除，与这两个元的取发相反。这样必须是本原多项式。证完。现在我们用的商域Q来做Q上的一元多项式环，那么包含。我们知道是唯一分解环，我们要由这一件事实来证明也是唯一分解环。引理2的每一个不等于零的多项式都可以写成的样子，这里是的本元多项式。若是也有的性质，那么证明Q的元都可以写成的样子，因此叫，

3、那么叫b是的一个最大公因子，那么，是本原多项式（Ⅳ，2习题2）假定另一方面，是的本原多项式，那么是的一个多项式。由于和都是本原多项式，bc和ad一定同是的系数的最大公因子（Ⅳ，2，习题2），因而这样证完引理3的一个本元多项式在里可约的充分而且必要条件：在里可约。证明假定在里可约。这时，因为显然也是的本原多项式，由（C）。和都属于，并且它们的次数都大于零。由引理2，，和都是的本原多项式。由引理1，还是本原多项式；由引理2，因此，但和的次数各等于的次数，因而都大于零：；由（A），和都不是的单位。这样，由Ⅳ，1，定理3，在里可约。假定在

4、里可约。这时，由（C），都属于，并且他们的次数都大于零。这样，由（A），把看作的元，这两个多项式也不是的单位；由Ⅳ，1，定理3，在里可约。证完。引理4的一个次数大于零的本原多项式在里有唯一分解。证明我们先证明可以写成不可约多项式的乘积。若是本身不可约，我们用不着再证明什么。假定可约。由（C）和引理1，都是本原多项式，并且他们的次数都小于的次数。这样，假如还是可约，我们又可以把他们写成次数更小的本原多项式的乘积。由于的次数是有限正整数，最后我们可以得到（1）。是不可约本原多项式。假定还有一个分解（2）。那么由引理1，是不可约本原多项

5、式。由引理3，和在里还是不可约，这就是说，（1）和（2）也是在里的两种分解，但是唯一分解环，所以我们有并且由（A），我们可以假定这样，由引理2，在里有唯一分解。证完5.3结论的证明定理1若是是唯一分解环，那么也是。证明我们看的一个不是零也不是单位的多项式。若，那么由于是唯一分解环，显然有唯一分解。若是本原多项式，由引理4，也有唯一分解。这样，我们只需看d不是的单位，是次数大于零的本圆多项式时的情形。这时，因d有分解有分解是不可约本原多项式，所以在里有分解：假定在里有另一种分解：都是的不可约多项式。这时，一定是的素元，一定是不可约多

6、项式。因为：若不是的素元，显然也不会是的不可约多项式；若不是本原多项式，它的系数的最大公因子显然是它的一个真因子，因而也不会是不可约多项式，这样由引理1和2，我们有（3）是的单位；因而（4）（3）式表示的是本原多项式的两种分解，因而由引理4，而且我们可以假定（4）表示的是唯一分解环的元d的两种分解，因而而且我们可以假定这样，是唯一分解环。证完。由定理1，应用归纳法立刻可以得到定理2若是唯一分解环，那么也是，这里是上的无关未定元。由定理1，当是整数环的时候，是一个唯一分解环。但我们知道，这个多项式环不是一个主理想环（Ⅲ，7，例3）。

7、这样，我们有了一个分解环不是主理想的例子。