数值微分与数值积分练习题

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1、第五章数值微分与数值积分一．分别用向前差商，向后差商和中心差商公式计算f()xx=在x=2的导数的近似值。其中，步长h=0.1。【详解】fxhfx()(+−)ff(20.1)+−(2)2.1−200向前差商====0.349241h0.10.1fx()(−−fxh)ff(2)−−(20.1)2−1.900向后差商====0.358087h0.10.1fxhfxh()()+−−ff(20.1)+−−(20.1)2.1−1.900中心差商====0.35366422h×0.10.2二．已知数据x2.52.552.602.652.70f()x1.

2、581141.5968721.627881.64317求fff′′′(2.50),(2.60),(2.70)的近似值。【详解】h=0.05，按照三点公式−+−−3(2.50)4(2.55)fff(2.60)31.5811441.596871.61245×+×−f′(2.50)≈==0.31610020.05×0.1ff(2.65)−−(2.55)1.627881.59687f′(2.60)≈==0.31010020.05×0.1fff(2.60)4(2.65)3(2.70)−+241.6278831.64317−×+×f′(2.70)≈==

3、4.17990020.05×0.1三．已知如下数据x345678f()x2.93766.963213.60023.50037.31855.7050846用三点公式计算f′(5)和f′′(5)的近似值。【详解】ff(6)−−(4)23.50086.9632h=1，f′(5)≈==8.268422fff(4)2(5)−+(6)6.9632213.600023.5008−×+f′′(5)≈==1.6320221×2四．求n=4时的所有Cotes系数。【详解】ni−n()n(1)−nCti=−∫∏()jdt，in=0,1,2,...,nini⋅−!

4、()!0jj=≠0,i40−(4)(1)−4414327C=−(ttttd1)(−2)(−3)(−4)t=(ttttd−10+35−50+24)t=0∫∫40!(40)!⋅−00969041−(4)(1)−44143232Ct=−(2t)(3t−)(4t−)dt=−(92t−t+62t−4)tdt=1∫∫41!(41)!⋅−00249042−(4)(1)−44143212Ct=−(1t)(3t−)(4t−)dt=(81t−t+91t−2)tdt=2∫∫42!(42)!⋅−00169043−(4)(1)−44143232Ct=−(1t)(2t

5、−)(4t−)dt=−(71t−t+48)t−tdt=3∫∫43!(43)!⋅−00249044−(4)(1)−4414327Ct=−(1t)(2t−)(3t−)dt=(61t−t+16)t−tdt=4∫∫44!(44)!⋅−0096901x五．分别用梯形公式和Simpson公式计算定积分∫edx，并与精确值0比较精度。【详解】11xx∫edxe==e−11.718282=0011梯形公式x01Te:∫dxee≈+=()1.85914102误差为1.718282-1.859141=-0.1408590111x012Simpson公式S:∫e

6、dx≈++=(e4ee)1.71886106误差为1.718282-1.718861=-0.000579六．分别用复化梯形公式(取n=8)和复化Simpson公式(取n=4)计算1x定积分∫edx，并与精确值比较精度。0【详解】1x∫edx=1.71828207i1x10−018T8：∫edx≈+(ee+=2∑e)1.720519068×i=1其误差为1.7182821.720519−=−0.0022374321ii−21x10−0188S4：∫edx≈+(ee++=4∑∑e2e)1.718284064×ii==11其误差为1.718282

7、1.718284−=−0.000002