圆锥曲线问题的探究与发现

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1、《圆锥曲线问题的探究与发现》教学设计浙江师范大学附属中学　王　谦一、问题导入，引发探究师：我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具（如图），所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象：两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转（动画）。你能通过所学解析几何知识，构造出这种有趣的现象吗？二、实验探究，交流发现探究1：卵之由来——椭圆的形成(1)单个定椭圆的形成椭圆的定义：平面内到两定点、的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。（即若平面内的动点到两定点、的距离之和等于常数(大于)，则点的轨迹为以、为焦点的椭圆。）思考1：如何使为定值？（不妨将两条线段的长度和转化为一条

2、线段，即在线段的延长线上取点，使得，此时，为定值则可转化为为定值。）思考2：若为定值，则点的轨迹是什么？定点与点轨迹的位置关系？（以定点为圆心，为半径的圆。由于>，则点在圆内。）思考3：如何确定点的位置，使得，且？（线段的中垂线与线段的交点为点。）揭示思路来源：(高中数学选修2-1P497)如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线l和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？(设圆的半径为，由椭圆定义，(常数)，且，所以当点在圆周上运动时，点的轨迹是以为焦点的椭圆。)图形计算器作图验证：以圆与定点所在直线为轴，中垂线为轴建立直角坐标系，设圆半径，

3、，即圆，点，则点轨迹是以以为焦点的椭圆，椭圆方程为。(2)单个动椭圆的形成思考4：构造一种动椭圆的方式（由于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长为定值，则也要为定值，因此可将圆内点取在圆的同心圆上，当点在圆上动时，即可得到动椭圆。）图形计算器作图验证：当圆内动点取在圆的同心圆上，运动点，即得到动椭圆。(3)两个椭圆的形成观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴对称，且直线过两椭圆公共点，所以直线为两椭圆的公切线。因而找到公切线，作椭圆关于切线的对称椭圆即可。探究2：卵之所依——切线的判断与证明线段的垂直平分线与椭圆的位置关系(1)利用图形计算器中的“

4、图象分析”工具直观判断与椭圆的位置关系．设圆上动点，则线段的中垂线的方程为，将动点的横坐标保存为变量，纵坐标保存为变量，随着点的改变，在Graphs中画出相应的动直线．用图形计算器中的“图象分析”工具找出椭圆所在区域内的直线与椭圆的交点，拖动点，动态观测交点个数的变化，发现无论点在何处，动直线与椭圆只有唯一一个交点，因此判断直线与椭圆相切，并可求出该切点的坐标．也可以将椭圆方程与直线方程联立，用“代数”工具中的solve（）求出方程组的解，从而判断根的情况．(2)证明椭圆与直线相切．不妨设直线：，其中，，与椭圆方程联立，得，因此，将，，代入上式，用“代数”工具中的expand()化简式子，

5、得，所以椭圆与直线相切，切点为．(3)证明由任意圆上的动点和圆内一点确定的椭圆与线段中垂线均相切(反证法)因为椭圆是点的轨迹，而点是直线与线段中垂线的交点，所以点既在椭圆上，也在直线上。因此，直线与椭圆至少有一个公共点，即直线与椭圆相切或相交。假设直线与椭圆相交，设另一个交点为（与不重合）．因为，所以；又因为，所以为定值，而，矛盾．因此直线与椭圆相切。探究3：两卵相依——对称旋转椭圆的形成与动画当圆内动点取在圆的同心圆上，作椭圆关于切线的对称椭圆，运动点，隐藏相关坐标系与辅助圆等图形，呈现两卵相互依偎旋转的有趣效果。改变一些问题条件，进行深入探究与发现。探究4：改变点位置，探究点轨迹(1)

6、曲线判断：利用TI图形计算器作图分析，拖动点，当点在定圆内且不与圆心重合时，交点的轨迹是椭圆；当点在定圆外时，则，交点的轨迹是双曲线；当点与圆心重合时，点的轨迹是圆的同心圆；当点在圆周上时，点的轨迹是是一点（圆心）．(2)方程证明：圆，设点，可解得点的轨迹方程为，当或时，点的轨迹为圆心；当且时，点的轨迹方程为，当时，点的轨迹为圆:；当且时，点的轨迹为椭圆；当或时，点的轨迹为双曲线。探究5：改变切线位置，探究由切线得到的包络图形查阅有关参考书籍，了解圆锥曲线的包络线，并利用图形计算器作出椭圆、双曲线的包络图形，自主探究抛物线的包络线(将定圆改为定直线)。结论：所谓包络图，就是指有一条曲线按照

7、一定运动规律运动，保留其所有瞬间位置的影像，会有一条曲线能够和该运动曲线所有位置相切，这条曲线就成为该运动曲线的包络线。探究6：拓展延伸：椭圆切线的几个性质及其应用性质1：是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上异于长轴两端点的任一点，则点的切线平分的外角。性质1′：点处的法线(过点且垂直于切线)平分。(即为椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。)课后探究：阅读数学选修2-1P