郑忠喜量子力学

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1、§4Schrodinger方程（一）引言（二）自由粒子满足的方程（三）势场V(r)中运动的粒子（四）多粒子体系的Schrodinger方程这些问题在1926年Schrodinger提出了波动方程之后得到了圆满解决。微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；(2)波函数如何随时间演化。（一）引言（一）自由粒子

2、满足的方程描写自由粒子波函数:应是所要建立的方程的解。将上式对t微商，得：(1)–(2)式(1)–(2)式（二）势场V(r)中运动的粒子该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。（三）多粒子体系的Schrodinger方程设体系由N个粒子组成，质量分别为μi(i=1,2,...,N)体系波函数记为ψ(r1,r2,...,rN;t)第i个粒子所受到的外场Ui(ri)粒子间的相互作用V(r1,r2,...,rN)则多粒子体系的Schrodinger方程可表示为：多粒子体系Hamilton量对有Z个电子的原子

3、，电子间相互作用为Coulomb排斥作用：而原子核对第i个电子的Coulomb吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。例如：（一）定域几率守恒考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在t时刻r点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：§5粒子流密度和粒子数守恒定律证：考虑Schrodinger方程及其共轭式：

4、取共轭在空间闭区域τ中将上式积分，则有：闭区域τ上找到粒子的总几率在单位时间内的增量J是几率流密度，是一矢量。所以(7)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。令Eq.（7）τ趋于∞，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是Eq.（7）变为：其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同使用Gauss定理单位时间内通过τ的封闭表面S流入（面积分前面的负号）τ内的几率S讨论：表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。（1）这里的几率守

5、恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。（2）以μ乘连续性方程等号两边，得到：量子力学的质量守恒定律同理可得量子力学的电荷守恒定律：表明电荷总量不随时间改变质量密度和质量流密度矢量电荷密度和电流密度矢量（二）再论波函数的性质1.由Born的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即dω(r,t)=

6、ψ(r,t)

7、2dτ2.已知ψ(r,t)，则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学

8、量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。（1）波函数完全描述粒子的状态（2）波函数标准条件1.根据Born统计解释ω(r,t)=ψ*(r,t)ψ(r,t)是粒子在t时刻出现在r点的几率，这是一个确定的数，所以要求ψ(r,t)应是r,t的单值函数且有限。式右含有ψ及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域τ是任意选取的，所以S是任意闭合面。要是积分有意义，ψ必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续

9、且其一阶导数亦连续。2.根据粒子数守恒定律:概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。§6定态Schrodinger方程（一）定态Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）求解定态问题的步骤（四）定态的性质（一）定态Schrodinger方程现在让我们讨论有外场情况下的定态Schrodinger方程：令：于是：V(r)与t无关时，可以分离变量代入等式两边是相互无关的物理量，故应等于与t,r无关的常数该方程称为定态Schrodinger方

10、程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。由deBroglie关系可知：E就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。空间波函数ψ(r)可由方程和具体问题