高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修

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1、2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义学习目标：1、能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度；2、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。+我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=

2、F

3、

4、S

5、cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。平面向量的数量积：已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即规定其中θ是与的夹角，叫做向量在方向上（在方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，即。θBB1OA投影的概

6、念:投影也是一个数量，不是向量.OBAB1投影的概念:ABOB1当为锐角时投影为正值;投影的概念:ABOB1ABOB1当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;投影的概念:ABOB1当为直角时投影为0;ABOB1ABO(B1)当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。θBB1OA思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负呢？注意：数量积a·b=

7、a

8、

9、b

10、cos注意公式变形，知三求一.“·”读作“点乘”，不能省略不写，也

11、不能写成“×”;一种新的运算，也叫做内积;由向量数量积的定义，试完成下面问题：注：常记为。0≤证明向量垂直的依据（4）平面向量数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度

12、a

13、与b在a的方向上的投影

14、b

15、cos的乘积。（5）向量数量积的性质。①e·a=a·e=

16、a

17、cosθ.②a⊥ba·b=0.③当a与b同向时,a·b=

18、a

19、

20、b

21、；当a与b反向时，a·b=-

22、a

23、

24、b

25、.特别地，a·a=

26、a

27、2或

28、a

29、=。⑤

30、a·b

31、≤

32、a

33、

34、b

35、④典型例题分析进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。例1、

36、四.课堂练习判断下列各题是否正确(1)若a=0,则对任意向量b,有a·b=0(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a·b≠0(3)若a≠0,且a·b=0,则b=0(4)若a·b=0,则a=0或b=0(5)对任意向量a有a2=│a│2(6)若a≠0且a·b=a·c,则b=c(7)a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.(√)(×)(×)(×)(√)(×)(√)数量积的运算规律：思考：等式是否成立？数量积的运算规律：不成立例2：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a

37、＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例2：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.例3.已知，的夹角60º，求。例4.已知，且与不共线，k为何值时，向量与互相垂直。-72，小结向量数量积计算时,一要算准向量的模,二要找准两个向量的夹角。1、两向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由c

38、osθ的符号确定；2、两个向量的数量积称为内积，写成a·b;与代数中的数a·b不同，书写时要严格区分；3、在实数中，若a≠0，且a·b=0,则b=0；但在数量积中，若a≠0，且a·b=0,不能推出b=0。因为其中cosθ有可能为04、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc得a=c.但是有a·b=b·c不能得a=c数量积a·b=

39、a

40、

41、b

42、cos5、a⊥ba·b=0.6、当a与b同向时,a·b=

43、a

44、

45、b

46、；当a与b反向时，a·b=-

47、a

48、

49、b

50、.特别地，a·a=

51、a

52、2或

53、a

54、=.8、7、

55、a·b

56、≤

57、a

58、

59、b

60、,

61、

62、a·b

63、=

64、a

65、

66、b

67、

68、cosθ

69、作业：P1083、7