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《数学建模——食堂就餐问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、某高校设有第1、2、3、4四个食堂，学生可以在任意一处就餐，假设现在学校准备在上述四处中挑选一处增开阅报栏，主要挑选依据是在就餐人数最多的食堂增开阅报栏。假设学生前后两次就餐地点发生变化的概率如下：上次就餐第1食堂第2食堂第3食堂第4食堂本次就餐第1食堂0.600.250.100.10第2食堂0.200.500.200.25第3食堂0.150.100.550.50第4食堂0.050.150.150.15请为学校新阅报栏选址建立差分方程数学模型，并根据此模型指出四个食堂的学生就餐人数的分布趋势，并且选择最合适
2、的阅报栏地址。二、问题的假设1、假设食堂没有扩建；2、假设各个食堂间的竞争是良性的；3、假设本校学生全部在食堂就餐，该校共有3000名学生。三、符号说明：选取的进行考察的时间段：取出矩阵的第列：分别在这4个食堂就餐的概率组成的矩阵：在第个食堂就餐次的学生人数，，……四、模型的分析本题主要是考虑阅报栏的开设问题，所以只要从第1食堂、第2食堂、第3食堂和第4食堂中选取一个就餐人数最多的食堂开设阅报栏，以保证更多的阅读人数就可以了。对于这个问题，我们可以考虑运用差分方程模型来求解，利用表格中所给的学生就餐地点变化
3、的概率，再运用绘图程序画出变化趋势图，可以更加直观的看出在哪个食堂就餐的人数最多，最占优势，然后在那个食堂开设阅报栏即可。五、模型的建立与求解5.1.1模型的建立记学生在食堂就餐第次的人数分别为，，，，据此可写出在食堂就餐第次的人数为，（……）。由题目所给数据可知，第一次在第1食堂就餐的概率为0.60，0.20,0.15,0.05，第二次在第1食堂就餐的概率为0.60,0.25,0.10,0.10，所以可得在第1食堂就餐的学生数量的差分方程为：；类似可得：在第2食堂就餐的学生数量的差分方程为：4；在第3食堂
4、就餐的学生数量的差分方程为：；在第4食堂就餐的学生数量的差分方程为：；综上所述，我们可得一阶差分方程组如下：用矩阵表示为：用matlab编程计算出的值，观察4个食堂就餐的学生人数的变化情况，见附录。如果想要直接看某段时间的食堂就餐学生数量变化趋势，可以直接用matlab作图，通过图形可以更加直观的看出变化趋势，进而能够确定阅报栏具体可开设的地点。5.1.2模型的求解（1）当把学生平均分配到四个食堂就餐，即，运用程序可以绘出图形，得到变化数目，具体见以下图表：第1食堂第2食堂第3食堂第4食堂平均分配75075
5、0750750第1次788863975375第2次823878928371第3次843882907368第4次854883898366第5次859883893365第6次862883891364第7次864883890364第8次864883889364第9次865883889364第10次865883889364第11次865883889364第12次8658838893644由上图可以看出，时间充分长以后，在4个食堂就餐的学生数量逐渐趋向于865,883,889,364。通过上述结果，我们还可以考察这个
6、结果是否与一开始平均分配的学生数量有关。（2）若最开始3000名学生都在第4食堂，即，具体情形见如下图表：第1食堂第2食堂第3食堂第4食堂任意分配0003000第1次3007501500450第2次5638481170420第3次7088751023394第4次785882953379第5次825884920371第6次845884920371第7次845884904367第8次855883896365第9次860883892365第10次865883889364第11次865883889364第12次86
7、58838893644由上图可以看出，时间充分长以后，在4个食堂就餐的学生数量仍然趋向于865,883,889,364。由此可知，此结果与初始值无关。（3）结论：有上面的讨论可知，第3食堂吸引学生最多，应该在第3食堂开设阅报栏。五、参考文献[1]淮阴工学院数学建模实验7[2]王小才.差分方程课件[3]赵静.数学建模与数学建模实验.北京：高等教育出版社，2008.附录定义m文件：functionx=ybl(n)A=[0.60.250.10.1;0.20.50.20.25;0.150.10.550.5;0.05
8、0.150.150.15];x(:,1)=[750,750,750,750]';fork=1:nx(:,k+1)=A*x(:,k);end程序：A=[0.60.250.10.1;0.20.50.20.25;0.150.10.550.5;0.050.150.150.15];n=10;x(:,1)=[750,750,750,750]';%x(:,1)=[0,0,0,3000]';fork=1:nx(:,k+1)=A*
