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1、物理学进展第25卷第4期2005年12月Vol.25,No.4Dec.,2005PROGRESSINPHYSICS文章编号:100020542(2005)042035929分数布朗运动和反常扩散包景东(北京师范大学物理系,北京100875)摘要:本文评述了分数布朗运动和反常扩散现象及描写它们的几种数学方式。报告了我们在弹道扩散的产生条件、起源和长时间效应方面的工作。关键词:分数布朗运动;反常扩散;连续时间无规行走;广义Langevin方程;弹道扩散中图分类号:O415.6文献标识码:A0引言历史上,布朗运动现象追源于JanIngenhausz在
2、1785年观测木炭粉末在酒表面的运动;后来RobertBrown在1828年观测花粉、尘埃、烟灰在水表面的扩散;1905年AlbertEinstein用随机行走解释流体分子的热运动;1926年JeanPerrin因为测量Avogadro常数获Nobel物理奖。整整一百年前,伟大的物理学家爱因斯坦在一篇开创性的文章[1],建立了布朗运动的扩散理论。他考虑一个布朗粒子的一维无规运动,粒子每隔τ时间被撞击一次而移动距离l,每次撞击时向左和向右移动的可能性各占一半。假设粒子从原点出发,在时刻t,粒子已受到了n=t/τ次撞击。爱因斯坦证得:粒子的平均位移
3、为零,〈x(t)〉=0;方均位移写作〈x2(t)〉=2Dt,这里D=l2/(2τ)。其实这是扩散方程9P(x,t)=D92P(x,t)的高斯分布函数解的前两次tx距,也是中心极限定理的直接结果。上世纪40年代以后,布朗运动的动力学研究开始兴起[2,3]。两个等价的方程是Langevin方程和Fokker2Planck方程[4],前者是关于粒子轨道的随机微分方程;后者是关于分布函数随时演化的二阶偏微分方程。人们通常认为前者更基本,因为在有些情况下写不出精确的Fokker2Planck方程,例如色噪声和记忆阻尼。Kubo认为布朗运动可以看成一个系统
4、受到外界随机扰动的响应,提出了第一和第二涨落耗散定理[5]。站在更广义的角度上,用纯粹的微观理论来对一个复杂系统的演化过程进行完全的动力学描述并不是适合的,因为哪里包含了大量的自由度。当今大部分流行的模型是输运理论,即要区分集体自由度(相关变量)和内禀自收稿日期:2005210228基金项目:国家自然科学基金资助项目(10235020,10075007);教育部跨世纪优秀人才基金项目;高等学校博士点专项科研基金(20050027001)由度(非相关变量)。后者在平均意义上被处理成一个热浴,集体和内禀自由度之间的能量转换的量度就是耗散或摩擦。故许
5、多现象能够类比成布朗运动。近几年来,在破缺媒介及非大数定理统计下的反常扩散现象引起了人们的极大关注[6～8],例如在湍流、等离子体、渗透媒介、生长表面和细胞等环境中的系统就表现出偏离布朗运动的特征。一个自由粒子的方均位移在长时间后正比于时间的分数次幂,称为分数布朗运动:〈x2(t)〉∝δt,其中0<δ<1为欠扩散;δ=1是正常扩散;1<δ<2为超扩散;δ=2系弹道扩散。从数学上看,反常扩散来自于时间和空间上的非局域性,而描写这一运动的主要手段有:连续时间无规行走(CTRW),分数Fokker2Planck方程,Levy飞行,Tsallis统计,
6、广义Langevin方程等。现在反常扩散和输运的研究才刚刚起步,仅自由场、线性场和简谐势可以获得精确解。由于数值求解分数Fokker2Planck方程的困难,人们知道的有势系统的信息还很有限,目前的理论研究大都是从唯象观点出发,导出分布函数或粒子轨道满足的方程,其中反常指数为一个自由参数。玻耳兹曼建立了各态历经理论,即长时间后可观测量的系综平均等于时间平均;各态历经系统具有唯一的定态分布,分布函数在等能量面上为一常数。这也是统计物理的基础,也就是微正则系统的等概率法则。该理论的目的在于在相空间理解不可逆的起源。其实这个问题很重要,构成了平衡态统
7、计物理和大部分非平衡态统计物理的基础,但很少有好的例子表明在孤立系统(自由粒子)各态历经被破坏。近年来,分数布朗运动和非玻耳兹曼统计为这一问题的研究打开了话题。众所周知,平衡态统计物理侧重于统计分布,非平衡态统计物理侧重于动力学。我们感兴趣于两者的结合,也就是在什么动力学规律支配下,系统从不同的初始条件出发,所达到的渐近稳定态有别于平衡态,而是介于牛顿确定性力学和朗之万随机力学之间。这不仅需考虑耦合方式的非线性,而且更应该深入探讨热浴的结构。本文第1节评述了几种描写分数布朗运动和反常扩散现象的数学手段,并与正常的布朗运动做了比较;第2节报告了我
8、们最近关于弹道扩散的工作,包括产生的条件,可能的物理起源以及在这一过程中Kubo第一和第二涨落耗散定理的适用性;小结被最后写在第3节。1反常扩散的描述
