2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

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1、2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答（6月14日上午）一、填空题、若三位数是一个平方数，并且其数字和也是一个平方数，则称为超级平方数，这种超级平方数的个数是．答案：个．解：可顺次列举出：．、函数的最大值是．答案：．解：，其定义域为，当时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为．、直线过点，若它被两平行线与所截得的线段长为，则直线的方程为　　　　　　　　　　　　．答案：或者．解：设的方程为，将此方程分别与及联立，解得交点坐标与，据，得，即，所以，，分别代入所设方程，得到或者．、．6答案：．解：．、满足的实数的取值范围是．答案：．解：用

2、图像法：令，此为单位圆的上半圆，它与直线交点，半圆位于交点左侧的图像皆在直线上方；或者三角函数代换法：因，令，则，由条件式，平方得，则，又有，因此．、若实数，且，则的取值范围是．答案：．解：因，所以，，则，因非负，于是，从而由知，，得到，（当时取得等号）再由，，则，所以，于是6，（当时取得等号），所以．、在前一万个正整数构成的集合中，被除余，并且被除余，被除余的元素个数是．答案：个．解：对于每个满足条件的数，数应当被除皆余，且为偶数；因此，应当是的公倍数，且为奇数；即是的奇倍数，而当时，，由于在中，共有个数是的倍数，其中的奇倍数恰有个．、如图，正四面体的各

3、棱长皆为，分别是棱的中点，以为圆心，为半径，分别在面内作弧，并将两弧各分成五等分，分点顺次为以及，一只甲虫欲从点出发，沿四面体表面爬行至点，则其爬行的最短距离为．答案：．解：作两种展开，然后比较；由于被分成五段等弧，每段弧对应的中心角各为，被分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为，若将绕线段旋转，使之与共面，这两段弧均重合于以为圆心，半径为的圆周，对应的圆心角为，此时，点之间直线距离为，若将绕线段旋转，绕线段旋转，使之皆与共面，在所得图形中，对应的圆心角为，此时，点之间直线距离为，所以最短距离是．二、解答题、正整数数列满足：；证明：数列的任何两项皆互质．6

4、证：改写条件为，从而，等等，据此迭代得，所以，，因此当，．、（分）为锐角三角形的垂心，在线段上任取一点，延长到，使，作，，其中为垂足，是线段的中点，分别为的外接圆圆心，的另一交点为；证明：、四点共圆；、四点共圆；证：、如图，设，连，则因，，，得∥，∥，且，所以≌，与平行且相等，故∥，，因此，四点共圆；、据，为的直径，作的直径，连，则，所以∥，∥，故为平行四边形，进而得，与平行且相等，因此对角线与互相平分于，从而是三边的中点，∥，而由，，得∥，所以共线，6因此∥，又由的中位线知，因此四边形是等腰梯形，其顶点共圆．、对于任意给定的无理数及实数，证明：圆周上至多

5、只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．证：对于点，用表示上述圆周上有理点的个数；首先，我们可以作一个合于条件的圆，其上至少有两个有理点，为此，取点，线段中垂线的方程为:,今在上取点，再取，则以为圆心、为半径的圆周上至少有这两个有理点；其次说明，对于任何无理点以及任意正实数，；为此，假设有无理点及正实数，在以为圆心，为半径的圆周上，至少有三个有理点，为有理数，，则……①据前一等号得……②据后一等号得……③记，，则为有理数，若，则由②，，因为无理数，得，故共点，矛盾！同理，若，可得共点，矛盾！若，由②、③消去得，有理数，因为无理数，故得，，所以，则共线，这

6、与共圆矛盾！6因此所设不真，即这种圆上至多有两个有理点．于是对于所有的无理点及所有正实数，的最大值为．、从集合中删去个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是的因数，求的最小值．答案：．解：因，中任两个元素之和不大于，由于不大于的正因数有，在的二元子集中，元素和为的有；元素和为的有；元素和为的有；元素和为的有；为直观起见，我们将其画成一个图，每条线段两端的数为上述一个二元子集，为了不构成这些和，每对数（每条线段）中至少要删去一个数；于是在图中各至少要删去个数，图中各至少要删去个数，图中至少删去个数，总共至少要删去个数．另一方面，删去适当的个数，可以使得余下

7、的数满足条件；例如在图中删去，图中删去，中删去，中删去，中删去．这时图中所有的线段都已被断开．6