3关节平面机械臂运动学方程

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1、机械手臂的运动学公式推导图13关节平面机械臂1.3关节平面机械臂n3关节平面机械臂有3个自由度，关节1有1个自由度，关节2有1个自由度，关节3有1个自由度n机器人手臂的几何尺寸（mm）：关节1长度：L1关节2长度：L2关节3长度：L3n关节的运动范围（右手）：如表1所示。表1关节运动范围关节123最大值ΘMax1ΘMax2ΘMax3最小值ΘMin1ΘMin2ΘMin32.机器人手臂的坐标系建立参考坐标系(1)为了对3关节平面机械臂进行控制，同时也便于描述机器人的动作状态，必须建立适当的初始坐标系。我们设定机械臂的初始姿态：关节1、关节2和关节3均处于水平姿态，与世界坐标系（x0,y0）

2、的x0轴的夹角为0度。参考坐标系（实验室坐标系）的设定如图1所示:X轴：从关节i到关节i+1的方向定义为X轴，即沿连杆方向y轴：根据X轴和Z轴的方向，以右手螺旋法则确定Z轴：沿关节轴方向，即垂直纸面，从里向外为Z轴正方向4(2)连杆参数连杆参数列表如表2所示。表2连杆参数连杆iai-1αi-1diΘi关节变量范围1000Θ1ΘMin1～ΘMax12L100Θ2ΘMin2～ΘMax23L200Θ3ΘMin3～ΘMax3n正解：连杆之间的齐次变换矩阵为：(1)(2)4(3)其中c1:cosΘ1(4)c2:cosΘ2(5)s1:sinΘ1(6)s1:sinΘ1(7)(8)(9)(10)(11

3、)式(1)为3关节平面机械臂的变换矩阵，式(2)为采用三角函数和差角公式化简得到的，式(3)为式(2)的简化表示，式(4)-式(11)为简化符号的详细表示。n反解：几何解：图23关节平面机械臂的平面几何关系4图2给出了3关节平面机械臂的几何关系，可以看出，在世界坐标系（x0,y0）下,由连杆L1,L2以及关节1和关节3的连线构成三角形。图中虚线所示为构成三角形的另一种情况，对于实线构成的三角形，采用余弦定理可得(12)由于cos(180+Θ2)=-cosΘ2,所以(13)三角形成立的条件为2边之和大于第三边，因此L1+L2必须大于。可利用上式检验反解是否存在，当上述条件不成立时，反解不

4、存在。当反解存在时，即可由(13)式得出Θ2的值。为求Θ1，可先求出β和ψ，根据三角函数与三角形各边的关系，应用2幅角反正切公式得：(14)再利用余弦定理求出ψ(15)(16)式中，+-号根据Θ2的符号取，当Θ2<0，取正号，反之取负号。平面内旋转角度可加和，因此3个连杆的旋转角度之和即为末端连杆的姿态，也即机械臂末端的姿态。(17)由以上式(1)–式(17)，可反解出所有连杆在世界坐标系的变换矩阵，即姿态。4