二面角复习课(一)

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1、二面角二面角复习课（一）德清三中周笔崇巴黎卢浮宫从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。一、二面角的定义二、二面角大小的范围：0°～180°三、二面角大小用什么来度量：二面角的平面角αβBOAa（4）二面角的记法“面1—棱—面2”如：①以直线a为棱，以α、β为半平面的二面角记作：③以直线AB为棱，平面CAB、平面DAB为半平面的二面角记作：　　　　　等等。②以直线l为棱，以平面ABCD、平面A1B1C1D1为半平面的二面角记作：或“A—l—A1”，等等。？“α—a—β”？“面ABCD—l—面A1B1C1D1”？“C—AB—D”(3)常见二面角的画法1、二面角的

2、平面角的定义以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角PA⊥l，PB⊥lABαβιp二面角的平面角2、求法1：定义法解：由正方体的面对角线的长都相等可知，△A1BD≌△C1BD，且为正三角形取BD的中点O，连结A1O、C1O、A1C1，则A1O⊥BD，C1O⊥BD，∴∠A1OC1就是二面角A1－BD－C1的平面角。∵A1C1＝　　，A1O＝C1O＝　　　　＝∴二面角A1－BD－C1的大小为。在△A1OC1中，由余弦定理得，在棱长均为1的正四面体P-ABC中，求二面角P-BC-A的余弦。例题选讲ABDCA1B1D

3、1C1在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D的大小？OBDCAS变式：如图，正四棱锥S-ABCD中，相邻两个侧面所成的二面角为120O，若底面边长AB=2，则侧棱长应为多少？什么情况下，易采用定义法？1、二面角的平面角的定义以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角ABPγβαιPA⊥l，PB⊥lABαβιp二、二面角的平面角2、求法2：垂面法探究在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试找出平面D1AC与平面DAC的平面角，并求它的大小。ABCDA1B1C1D1O解：因为在正方体中,易证得AC⊥面B1D,又

4、面D1AC交面B1D于直线D1O面DAC交面B1D于直线DO则∠D1OD为二面角D1-AC-D的平面角设此正方体的棱长为1在Rt△D1OD中,DD=1,DO=则tan∠D1OD=∠D1OD=所求二面角的大小是①②③1、二面角的平面角的定义以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角PA⊥l，PB⊥lABαβιp二面角的平面角2、求法3：垂线法AOlD例题选讲ABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D的大小？O课堂练习在正方体AC1中，E，F分别是AB，AD的中点，求二面角C1—EF—C的

5、大小？EFABDCA1B1D1C1已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。PABC解析：D过E作ED⊥PC于D，则∠BDE(或补角)就是此二面角的平面角。连结BD，过B作BE⊥AC于E，E二面角的求法∵PA⊥面ABC，∴面PAC⊥面ABC，∴BE⊥面PAC，∴BD⊥PC，∵△ABC为正△，∴BE=在Rt△PAC中，E为AC中点，则DE=∴tg∠BDE=∴∠BDE=arctg已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。PABC三垂线定理法：连结AD，则∠ADO就是此二面角的平面角。D过O作OD

6、⊥PC于D，O过A作AO⊥面BPC于O，F连结PO并延长交BC于F，二面角的求法垂线法的关键？EFDEEA1B1C1ABCNM变式如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，2·PA=AB，求平面PAB与平面PCD所成的二面角（锐角）的大小。PABCDlA1B1C1ABCNMDA1B1C1ABCNMDABαβιpιpαβAB1、定义法根据定义作二面角的平面角，在这个角所在的三角形内，利用余弦定理计算2、三垂线定理法借助三垂线定理作二面角的平面角，在这个角所在的直角三角形内计算角的大小3、射影面积法二面角的常用方法变式：如图,在长方体ABCD-A1B1C1

7、D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动,当AE等于何值时二面角D1-EC-D的大小为.课堂练习：1、已知正方形ABCD中，E为AB中点，沿DE、EC把正方形折成四面体，此时A、B重合为点P，求面PCD与面ECD所成的二面角的大小。ECDP(A,B)EABCD变式：△ABC的BC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，将△ABC沿AD折成大小为α的二面角B-AD-C。若cosα=a／b则三棱锥A-BCD的侧面△ABC是（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）形状与a、b的值有关的三角形小结二面角的平面角的求解