FC—空间上的KKM型定理与其应用

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1、第一章引言与基本概念KKM理论是解决非线性问题的重要理论和有力工具，它已经成为非线性分析的重要组成部分1912年，Brouwer得出下列定理(简称,Brouwer定理)，见111．Brouwer定理一个连续映射f：A。一△。必有一不动点zo=f(xo)∈△。其中△。表示n一单型．1929年，Knaster，Kuratowski芹[IMazurkiewicz得出下列原理f简称KKM原理)，见【2】．KKM原理闭值映射F：D一△。满足coACF(A)，对任何ACD，NN。∈DF(v)≠0．其中D表示n一单形△。的顶点集合．并称满足coAcF(A)的映

2、射F为KKM映射．Brouwer定理、KKM定理这二个定理在某种意义上是等价的因为KKM定理可以直接证明Brouwer定理；用Brouwer定理也能证明KKM定理，见f31『41f51由此可见这二个定理在某种意义上是相互等价的，这一发现后相继出现了很多不同形式的等价命题，并把它们应用到了统计学、非线性分析、经济学平衡理论等众多领域．KKM理论是对KKM定理不同等价形式的应用与研究，见[6】17]【8】【9]【10】_起初KKM定理主要是在Hausdorff拓扑线性空间的凸子集上研究；接着应用至lJLassonde意义下的凸空间上，见Iill；后来

3、应用到由Hovarth引进的具有某种可缩子集族的空间上(简称c一空间或H一空间)，见【12】[13】，而这些空问都包含在I±tSehiePark引进的一般化凸空间(简称G一凸空间)内．这样KKM原理在G一凸空问上更广泛地被应用并取得了一定的理论突破，见[91114][1511161117】[18]【19】【20]【21】[22】[23】-此外，利用KKM定理及其相关理论能够解决一些实际问题，例如重叠定理，见[24】[25][26】；截口定理，见【27]{28][29]；相交定理，贝,130][3111321；变分不等式，见【33】【341135]

4、[361；共存定理，见[311132][37]；平衡点问题，见[38]1391140】等它对非线性理论的研究起着非常重要的作用最近丁协平【4l】建立了无线性结构无凸性结构的有限连续拓扑空间f简称FC一空间)该空间几乎包含了非线性理论中所谈论的空间，比如：凸空问i11】、H一空间㈦，z一空Ih][421，超凸空IN[43}，G一凸空间【1目及其它凸结构，而且不少作者在FC一空间上建立了一些KKM理论，见[41]144¨451．本文主要在无任何凸性结构的有限连续拓扑空问(简称FC一空间)上，以古典的KKM原理为基础建立新的KKM型定理，并利用从一个拓

5、扑空间到另一个拓扑空第1页————一——～笙二笺!堕量董奎塑垒问的集值映射及KKM型定理得到相交定理，进⋯步利用已知的KKM型定理的变形结论得到重叠定理和不动点定理，最后作为它们的应用给出截口定理和择一性定理本章主要引入一些基本的定义和相关的注记．首先介绍集值映射和转移闭f开)值映射的概念．定义1．1设x和y是两个非空集台，若映射T：x—y是从X到y的幕集27的一个函数，则称映射T为集值映射，并记r(A)=U。。^丁(z)，对任何Acx．当y为拓扑空问时，我们根据集值映射T：X～y定义如下几个新的集值映射：T。：x—y，P(o)=y＼r∞)，对任

6、何z∈xT一：y—x，T_(∥)=x∈x：Y∈T(z))，对任何Y∈yT：x-Y，T(x)=丁0)，对任何。∈x．了1+：y—x，丁+(”)=X＼T(F)，对任何Y∈YintT：x～Y，intT(x)=int(T(x))，对任何z∈x其中B表示B的闭包，intB表示B的内部(对任何BC，，)．定义1．2设x是一个非空集合，y是一个拓扑空问，F：X—y是集值映射．若X∈X，Y∈y且Ⅳ隹F(z)，存在X’∈X，有Y譬F(x，)1则称F为转移闭值映射．定义1．3设X是一个非空集合，y是一个拓扑空问，F：X—l，是集值映射．若z∈x，Y∈y且Y∈F(z)

7、，存在X。∈x，有Y∈intF(x’)，则称F为转移开值映射注记1文【46]中已证O)F是转移闭值映射当且仅当n。；xF(z)=N。。xF两．(ii)F是转移开值映射当且仅当U。∈xF(x)=U。∈xintF(x)．下面介绍本文中所涉及的空问与相关的概念，并给出已有的结论．定义1．4设x是～个拓扑空问，D是x的非空子集，使得对每一Ⅳ：{。o，zH一，zn)∈(D)，都存在连续映射妒Ⅳ：A。一x，则称(x，D；{妒Ⅳ))为有限连续拓扑空间f简称FC一空问)定义1．5称FC一空间(x，D；{妒Ⅳ})的子集M为Fc一子空间，若对每一Ⅳ={zo，。1，’

8、，zn，∈(D)和任何{z。。，Xi。，-··，Xi。)cMnN，推出妒Ⅳ(△々)cM当D=x时，z(x，x；{妒Ⅳ))=(x，{妒Ⅳ)