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时间:2019-06-25
《高考数学复习平面解析几何第78练高考大题突破练—圆锥曲线中的定点、定值问题练习》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第78练高考大题突破练—圆锥曲线中的定点、定值问题[基础保分练]1.(2019·嘉兴模拟)点P(1,1)为抛物线y2=x上一定点,斜率为-的直线与抛物线交于A,B两点.(1)求弦AB中点M的纵坐标;(2)点Q是线段PB上任意一点(异于端点),过Q作PA的平行线交抛物线于E,F两点,求证:
2、QE
3、·
4、QF
5、-
6、QP
7、·
8、QB
9、为定值.2.(2019·金华十校联考)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,且点P为椭圆E上一点.点A,B为椭圆E的上、下顶点,动点M在第一象限内且坐标为(m,2),过点M作直线MA,MB分别交椭圆E于C,D两点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)直线CD是否过定点
10、?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.3.设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点到直线+=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明:点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.[能力提升练]4.平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证:点M在定直线
11、上;②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.答案精析基础保分练1.(1)解 (1)kAB===-,(*)∴yA+yB=-2,∴M点纵坐标为-1.(2)证明 设Q(x0,y0),直线EF:x-x0=t1(y-y0),直线PB:x-x0=t2(y-y0),联立方程组得y2-t1y+t1y0-x0=0,所以yE+yF=t1,yE·yF=t1y0-x0,
12、QE
13、·
14、QF
15、=
16、yE-y0
17、·
18、yF-y0
19、=(1+t)
20、y-x0
21、.同理
22、QP
23、·
24、QB
25、=(1+t)
26、y-x0
27、.由(*)可知,t1===yA+yP,t2==yB+yP,所以
28、t1+t2=(yA+yB)+2yP=-2+2=0,即t1=-t2,即t=t,所以
29、QE
30、·
31、QF
32、=
33、QP
34、·
35、QB
36、,即
37、QE
38、·
39、QF
40、-
41、QP
42、·
43、QB
44、=0为定值.2.解 (1)由e==,可得a=2b,将代入椭圆E的方程,得+=1,解得b=1,a=2,∴椭圆E的标准方程为+y2=1.(2)由题意,得A(0,1),B(0,-1),则直线MA的方程为y=+1,直线MB的方程为y=-1,联立∴xC=,xD=.∴C,D,∴kCD==,则直线CD的方程为y=x+,∴直线CD过定点.3.解 (1)由e=,得=,即a=2c,∴b=c.由右焦点到直线+=1的距离d=,得=,解得a=2,b=.∴椭圆C
45、的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线AB的斜率不存在时,x2=x1,y1=-y2,∴y=x.又+=1,解得
46、x1
47、==,即点O到直线AB的距离d=;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆的方程+=1联立并消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,∴x1+x2=-,x1x2=.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,∴(k2+1)-+m2=0,整理得7m2=12(k2+1),∴点O到直线AB的距离d===.∴点O到直线AB的距
48、离为定值.∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2≥2OA·OB,当且仅当OA=OB时取“=”.由d·AB=OA·OB,得d·AB=OA·OB≤,∴AB≥2d=,即弦AB长度的最小值是.能力提升练4.(1)解 由题意知=,可得a2=4b2,因为抛物线E的焦点为F,所以b=,a=1,所以椭圆C的方程为x2+4y2=1.(2)①证明 设P(m>0),由x2=2y,可得y′=x,所以直线l的斜率为m,因此直线l的方程为y-=m(x-m),即y=mx-.设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).联立方程得(4m2+1)x2-4m3x+m4-1=0.由Δ>0,得049、.(*)且x1+x2=,因此x0=,将其代入y=mx-,得y0=,因为=-.所以直线OD的方程为y=-x,联立方程得点M的纵坐标yM=-,所以点M在定直线y=-上.②解 由①知直线l的方程为y=mx-,令x=0,得y=-,所以G,又P,F,D,所以S1=·50、GF51、·m=,S2=·52、PM53、·54、m-x055、=××=,所以=.设t=2m2+1,则===-++2,当=,即t=2时,取到最大值,此时m=,满足(*)式,所
49、.(*)且x1+x2=,因此x0=,将其代入y=mx-,得y0=,因为=-.所以直线OD的方程为y=-x,联立方程得点M的纵坐标yM=-,所以点M在定直线y=-上.②解 由①知直线l的方程为y=mx-,令x=0,得y=-,所以G,又P,F,D,所以S1=·
50、GF
51、·m=,S2=·
52、PM
53、·
54、m-x0
55、=××=,所以=.设t=2m2+1,则===-++2,当=,即t=2时,取到最大值,此时m=,满足(*)式,所
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