伽罗瓦扩域上的正规基与对偶基

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1、§1引言设P为素数，口为p的方幂，K=最为含有q个元的有限域，F=昂是K=E的n维扩域。F在K上不同基的数目是很多的，但这其中有两种类型的基特别重要，它们是正规基和多项式基。对正规基的注意出现在上个世纪．人们早期对正规基感兴趣可能是因为Gauss用正规基解决了何时可用直尺和圆规画出正多边形的问题(【1】)。事实上，Gauss用正规基来构造分圆域的子域。一般地，正规基可用来实现伽罗瓦扩域中的中间域与伽罗瓦群的子群之间的伽罗瓦对应(【2】)．有趣的是，早在人们发现有限域理论的实际应用之前，Hensel在1888年就注意到了用正规基表示有限域中元的优点(【3J)。在实际应用中，随着有限域上编码

2、理论和各种密码体制的出现，人们对有限域上算法的实现也就有了新的要求．在这方面的研究产生了许多硬件和软件的设计和实现，包括公钥密码中玛m上的加密程序(141)。而这些成果都是基于Massey，Omura([SD，Mullin，Onyszchuk和Vanstone([61)等人用正规基表示有限域而产生的乘法方案和对算法选择合适的加法．但是这样设计的乘法方案的硬件复杂度在很大程度上是由所选用的正规基决定的．又由于在椭圆曲线公钥密码体制的实现中通常用最优正规基表示有限域中的元(17，8】)，因此对正规基，特别是最优正规基的研究显得尤为莺要．如在1989年E．Bayer-Fluckiger在191

3、中研究了自对偶正规基。1990年JungnickelD，MenezesA，VanstoneS在f101中讨论了兄。在E上自对偶正规基的数目．s．Akbilc在1992年发表了关于有限域中正规生成元的文章(1111)。同年，s．Gao和H．W．Lenstra完全确定了有限伽罗瓦扩域上的最优正规基(1121)，从而很容易确定有限域上的最优正规基([131)。1995年s．Gao和s．A．Vanstone研究了最优正规基生成元的秩(【81)。2004年BenjaminYoung和DanielPanario在【14】中讨论了而上两种类型的低复杂度正规基等等。最近廖群英给出了有限域上最优正规基乘法

4、表的一个计算方法(1ls])。证明了有限域上正规基与其对偶基等价的充分必要条件([161)，并发表了有限域上关于一类比较特殊的正规基([171)这篇文章。本人就是受其文章的启发，将有限域上部分定理推广到一般的伽罗瓦扩域中，从而得到了如下定理：定理：设￡为域K的n次伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群为G={印=id，O"1，⋯，靠一1'，N={no，o“⋯，Otn—1)，B={岛，历，⋯，风一l}为L的两组f●基．对于o∈厶满足{croQ，O"10，⋯，％一lQ’为L的正规基，令a(ao，OtI，⋯，Otn—I)=(Ot0，口1，⋯，Dn—I)T1四川走擘碛士学住论文o(岛，历，⋯，风一1)=(岛，风

5、，⋯，风一1)D，‘其中T，DE％(K)．如果N={Oq=以口fi=0，1，⋯，，l一1}，B={屈=以口}i=0，1，⋯，n一1}对某个p∈L，(也就是说N，B均是L在Ⅳ上的正规基，)则N，B等价当且仅当r=D．．23．a'iot+以口，以(a口)=uiao'ip，因此o-t为F的一个自同态。由以(O)=0可以推知Ot=0，反之亦然，所以以为单射．又F为有限集，所以以为满射，从而a'i为F的一个自同构。又由吼(口)=Ot，对任意fit∈K，所以o"i为F在K上的一个自同构．由于映射a'0，O"1，⋯，O"n—l将F的本原元(i．e．，循环群F。的生成元)分别映成不同的元，所以它们彼此互

6、异．反之，设口为任意一个F在K上的自同构，卢为F×的本原元，，扛)=矿+fln-lX一1+⋯+no为p在K上的极小多项式．我们有0=口(O)=盯(矿+an—l矿一1+···+ao)=(a侈)”+an—l(口口)“一1+⋯+ao，因此口口为，(z)在F上的一个根，由定理(如果Bz)为RM上次数为n的不可约多项式，则，(z)在‘。上有根fit，并且，扛)所有的根都是单根，它们由Ot，fitq，口矿，⋯，酽““给出。【19】)我们有卵=伊‘对于某个i，0SiSn一1．又因为口为同态，我们有O'fit=fitq’，对所有fit∈F．证毕如果对于口∈F，将所有的F在K上的自同构作用于fit，将得到

7、与a有关的一组元素，也就是下面所谓的共轭元：定义2．2：令F=％是K=日的开维扩域，fit∈F，我们称元素fit．，o：1，Q矿，⋯，Q矿-1为Ot关于ro的共轭元。有了fit的共轭元，我们定义一个新的概念：定义2．3：对于a∈F=昂，K=日，我们称ol+酽+⋯+扩-1为n在K上的迹，记作Tre／^：(fit)．定理2．2(1191)．．设K=‘，F=昂，则迹函数TrF／K有如F性质：四川走事项士擘住论丈4间．(i)Tre／K(a+