2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

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1、2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（4月20日8:00至10:00）一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1．若，则函数的最小值是．2．已知函数．若，则的值是．3．已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为前项和，且满足，，则数列的通项．4．若函数是奇函数，则实数的值是．5．已知函数．若关于的方程的实根之和为，则的值是．6．设、都是锐角，且，，则等于．7．四面体中，，，异面直线和之间的距离为4，夹角为，则四面体的体积为．8．若满足，，的恰有一解，则实数的取值范围是．9．设集合，，是的两

2、个非空子集，且中的最大数小于中的最小数，则这样的集合对的个数是．10．如果正整数可以表示为(，)，那么称为“好数”．问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为．二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知，，为正实数，，，求的值．12．已知，分别是双曲线的左右焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点．若，求双曲线C的离心率．13．如图，已知是锐角三角形，以为直径的圆交边于点，交边上的高于点．以为直径的半圆交的延长线于点．求证：．14．（1）正六边

3、形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．2006年全国1卷理科第12题设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不

4、同的选择方法共有（B）A．50种B．49种C．48种D．47种解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素

5、，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种

6、方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．第9题的本质与推广2014年金海南最后一模试题设整数3，集合P{1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记an为所有满足A中的最大数小于B中

7、的最小数的集合对(A，B)的个数．（1）求a3；（2）求an．解：（1）当3时，P{1，2，3}，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，则所有满足题意的集合对(A，B)为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})，({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a3；……3分（2）设A中的最大数为k，其中,整数3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k可在A中，故A的个数为：，……5分B中必不含元素1，2，…，k，另元素k1，k2

8、，…，k可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：，……7分从而集合对(A，B)的个数为，所以an．……10分an=C(n，2)·1+C(n，3)·2+……+C(n，n)·(n-1)∵C(n，k)·k=n·C(n-1，k-1)an=n·[2^(n-1)-1]-(2^n-1-n)=(n-2)·2^(n-1)+1