一类二维尺度空间上的混淆现象

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1、独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．签名：知』毯敏日期：M)7．占．，2关于论文使用授权的说明本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论

2、文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文．(保密的论文在解密后应遵守此规定)签名：纠鬈钦导师答名．彳；乏啉妒¨m1．1概念与符号第1章绪论第1章绪论z表示整数全体，R表示实数全体，T表示区间[一”，”】Ⅳ表示n维欧式空间，对z∈甜，以Xi表示z的第i个分量，记⋯=相等对于R“上的勒贝格可测函数，，定义II：Iio=e”翘infI／(吼II／Iloo2㈣。s∞up㈣在本文中，I呼中两个勒贝格可测函数相等，若无特殊声明，均指几乎处处定义L2(R-)为满足㈣I。=(／如I，(z)12)

3、1／2其中<·，·>表示R“中的内积．北京工业大学理学硕士学位论文给定一个n×n伸缩矩阵M，t∈Ⅳ，分别定义伸缩算子D：L2(”)—·工2(Rn)和乎移算子Tt：L2(鼢)—·工2(舯)为·对于任意f∈L2(船)，D／(．)=]detMI§f(M．)；正，

4、()=，(·一t)．以M。表示M的转置．一个n×住整数矩阵M称为伸缩矩阵，是指它的所有特征值的模都大于1．称两个2×2矩阵D1和D2整相似，如果存在行列式为4-1的整数矩阵P，使得D2=PDlP～．例子t矩阵(：：)，(：：)和(：二。)相互整相似；(：-1)，(二：)和(二：)相互整相似．容易验证，整相似是一个等价关系．对于任意，∈L2(Ⅳ)，，的Zak变换定义为(z似￡，u)=∑f(k+t)e4“'”，t，u∈R“．(1-1)I∈z^设n∈舻，0≤啦<1(i=l，2，⋯，扎)，y与矿是L2(R-

5、)的两个闭子空间，Vc矿，{≯(·一％)：七∈zn)是y的一个性质良好的基，且y中采样公式成立，即存在岛∈V，使凡)=∑f(k+a)so(·-k)(，∈y)★∈zn第1章绪论显然，对任意，∈矿，上述等式未必成立．此时定义，的混淆误差Boy为Eo／(·)=，(·)一∑，@+口)s：(·一％)kEZn本文将研究一类二维多分辨分析尺度空间上的混淆现象1．2背景和主要结果1986年，法国数学家Y．Meyer成功地构造出具有一定衰减性的光滑函数，这个函数的整数平移和二进尺度伸缩产生的函数系构成工2(R)的标准

6、正交基，这个函数就称为Meyer小波．继Meyer小波提出后。D．Lemarie和G．Battle又分别独立地构造出了具有指数衰减的小波函数．此后，S．MaⅡat提出多分辨分析的概念，成功地统一了J．Stromberg，Y．Meyer，D．Lemarie和G．Battle等人的小波构造方法．并且S．Mallat在多分辨分析的基础上给出了相应的分解与重构算法。这种算法主要用于数字图像的分解与重构．1998年，I．Daubechies基于多项式函数构造了具有紧支撑的正交小波．1990年，C．K．Chui

7、和王建忠基于样条函数构造了正交小波函数。并讨论了具有较好局部化性质的尺度函数和小波函数的构造方法[1-41．到目前为止，直线上小波分析的研究已经取得丰硕的成果[5-81．众所周知，多分辨分析是构造性质良好的小波的一个重要工具．L2(R)的一个闭子空间套{巧：J∈z)称为铲(R)的一个2一进制多分辨分析，如果(i)对任意J∈z，yj一1CK；(ii)瓯再=L2假)，n，口K={0)；(iii)对任意J∈z，，(·)∈U{—}f(2．)∈Vj+I；北京工业大学理学硕士学位论文(iv)对任意k∈z，，(·

8、)∈vo=}，(·一k)∈vo；(v)存在一个函数曲∈％使得如(·一k)：k∈z)是％的标准正交基这时，称≯生成该多分辨分析，妒称为其尺度函数经典的Shannon采样定理告诉我们，对任意，∈P●¨等{，∈L2(R)：supp]c【-Tr，7r】)有”)=∑，(n)s(·一n)，0-2)n=一00其中s(t)=sinTrt／'rt．这时若采样公式(1—2)运用到，隹P形，时，所谓的混淆现象将出现，即有误差E，：E，：=，(·)一∑，(n)s(·一n)．nEZ关于这一现象