《贝叶斯分析》PPT课件

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1、第七章贝叶斯分析风险型决策问题的决策准则损失函数、风险函数和贝叶斯风险贝叶斯定理贝叶斯分析风险型决策问题的决策准则最大可能值准则先看发生概率最大，再看损失值最小；效用则反之。如P73例1贝叶斯准则后果的期望效用最大；或损失的期望效用最小。风险型决策问题的决策准则E-V准则优势原则与随机性决策准则（1）当概率不能确定时采用；（2）优势原则：见课本75页例题（3）随机策略：删除最劣方案损失函数、风险函数和贝叶斯风险损失函数、风险函数和贝叶斯风险损失函数记作l(,a)，它表示一决策问题当状态为，决策人的行动为a时，所产生的后果使决策人

2、遭受的损失。由于损失函数可能为负值，因此它也能反映决策人获得的收益。后果的效用越大，损失越小。故用效用函数去定义损失函数的一种简单办法，是令l(,a)=-u(,a)为了使损失函数非负，可以定义为由于损失函数经过任何正线性变换仍然是同一优先关系的效用函数，因此以上两种形式的损失函数都会得到同样的分析结果。给定的，观察的结果（信息）X是一随机变量，用F(x)记X的条件分布函数，用f(x)记X的条件密度函数，用记随机变量的样本空间。决策规则就是由所有可能信息值的集合到所有可能行动的集合的一个映射。换句话说，决策规则是这样一个规

3、则，按照这个规则，对于每一个信息值X均有唯一确定的可行行动a=(x)与之对应。设给定一个决策规则(x)，在任一状态下，当信息值X确定后，它所对应的行动(x)也就确定了，从而(x)的损失值为l(,(x))，它也是一随机变量。当给定，l(,(x))对X的期望值称为风险函数，并记为R(,)，R(,)=Exl(,(x))若X为离散随机变量，则由于决策认事先不知道真实状态，他只能对随机状态的先验密度()作出主观估计。所以进行决策分析时，还需要将损失函数R(,(x))对取期望值，即如为连续随机变

4、量，则如为离散随机变量，则r(,)称为决策规则相对于的贝叶斯风险。对于固定的决策规则(x)，其贝叶斯风险为一常数，它反映出利用这一决策规则决策的平均损失。三种标准的“损失函数”：（1）平方损失：更一般的平方损失是加权平方损失，其形式是线性损失“0-1”损失例.有两类盒子：甲类盒子只有一个，其中装有80个红球，20个白球；乙类盒子共有三个，每个盒子均装有20个红球，80个白球。四个盒子外表一样，内容不知。今从中任取一盒，请你猜它是哪类的。如果猜中，付你1元钱；如果未猜中，不付你钱。那么你怎样猜法？如果从这个盒子中任意抽取N个

5、球（回置地），让你观察，你如何根据这N个球的性质来选择自己的行动？当容量为1或2的抽样时，求各决策规则的风险函数和贝叶斯风险，并分别指出最佳决策规则。解：令表示所取出的这个盒子中红球所占的比例。显然，只能取两个值：若这个盒子是甲类的，=1=0.8；若这个盒子是乙类的，=1=0.2。用a1、a2分别表示猜这个盒子是甲类的和猜它是乙类的这两个行动方案。显然收益矩阵如表5.1所示。表5.1猜盒问题的收益矩阵121/43/4a110a201假设N=1，即从你猜的那个盒子中取出1个球来观察。规定：对于红球，x=1；对于白球，x=

6、0，其抽样分布如表5.2所示：表5.2N=1时猜盒问题的抽样分布矩阵P()P(x=0/)P(x=1/)11/40.20.823/40.80.2P(x=0/)表示从甲类盒子中抽取1球是白球的概率，显然它等于0.2。对另外三个概率可作类似理解。利用先验分布和抽样分布计算后验分布：P(x=0)=0.21/4+0.83/4=0.65P(1/x=0)=0.05/0.65=1/13P(2/x=0)=0.60/0.65=12/13P(x=1)=0.81/4+0.23/4=0.35P(1/x=1)=0.2/0.35=4/7

7、P(2/x=1)=0.15/0.35=3/7表5.3N=1时猜盒问题的后验分布矩阵XP(x)P(1/x)P(2/x)00.651/1312/1310.354/73/7样本容量N=2时，表5.4N=2时猜盒问题的抽样分布矩阵P()P(x=0/)P(x=1/)P(x=2/)11/40.040.320.6423/40.640.320.04表5.5N=2时猜盒问题的后验分布矩阵XP(x)P(1/x)P(2/x)00.491/4948/4910.321/43/420.1916/193/19本例中，如果样本容量为1，由于所

8、有可能的抽样结果有2个，可行行动也有2个，故决策规则共有22=4个：1(x)=a12(x)=3(x)=4(x)=a2如果样本容量为2，那么抽样结果有3种可能，可行行动海时2个，因此决策规则共有23=8个。一般地，