高中数学第一章三角函数1.5.2余弦函数的图像与性质学案北师大版

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1、5.2　正弦函数的性质学习目标　1.理解正弦函数y＝sinx，x∈R的性质(重点).2.掌握正弦函数性质的应用(难点)．知识点1　正弦函数的性质函数正弦函数y＝sinx，x∈R图像定义域R值域[－1,1]最值当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1周期性是周期函数，周期为2kπ(k∈Z，k≠0),2π是它的最小正周期奇偶性奇函数，图像关于原点对称单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函数；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是减函数对称轴x＝＋kπ，k∈Z对称中心(kπ，0)，k

2、∈Z【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sin(－x)为奇函数(√).(2)函数y＝sinx，x∈[－，]的值域是[－，](×).(3)函数y＝sinx在[2kπ－，2kπ](k∈Z)上是单调递增的(√).(4)函数y＝sinx在第一象限内是递增的(×).题型一　与正弦函数有关的值域问题【例1】　求下列函数的值域：(1)y＝sin(2x－)，x∈[0，]；10(2)y＝－2sin2x＋5sinx－2.解　(1)∵0≤x≤，∴0≤2x≤π，－≤2x－≤，令2x－＝t，则原式转化为y＝sint，t∈[－，]．由y

3、＝sint的图像知－≤y≤1，∴原函数的值域为[－，1]．(2)y＝－2sin2x＋5sinx－2＝－2(sinx－)2＋.∵－1≤sinx≤1，∴ymin＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9，ymax＝－2×12＋5×1－2＝1.故函数y＝－2sin2x＋5sinx－2的值域是[－9,1]．规律方法　1.求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像．2．求值域时，注意：(1)利用sinx的有界性；(2)利用y＝sinx的单调性．【训练1】　(1)函数y＝2sinx＋1的值域是(

4、　　)A．[1＋，3]B．[1＋，3]C．[1－，1＋]D．[－1,3](2)设函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为，则以下四个结论正确的是________．①b－a的最小值为；②b－a的最大值为；③a不可能等于2kπ－(k∈Z)；④b不可能等于2kπ－(k∈Z)．解析　(1)画出函数y＝2sinx＋1(≤x≤)的图像如图所示，当x＝或x＝时，最小值为1＋；当x＝，最大值为3.10(2)由图像知，b－a的最大值为(如a＝－，b＝)；在b－a取最大值的情况下，固定左(或右)端点，移动右(或左)端点，必须保证取－1的最小值点在[a

5、，b]内，所以b－a的最小值为，b可能等于2kπ－(k∈Z)．若a＝2kπ－(k∈Z)，则由图像可知函数的最大值为的情况下，最小值不可能为－1.所以a不可能等于2kπ－(k∈Z)．答案　(1)B　(2)①②③题型二　正弦函数的周期性与奇偶性【例2】　求下列函数的周期：(1)y＝sinx；(2)y＝

6、sinx

7、.解　(1)∵sin＝sin＝sinx，∴sinx的周期是4π.(2)作出y＝

8、sinx

9、的图像，如图．故周期为π.规律方法　1.求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．2．函数y＝sinx为奇函数时其定义域必须关

10、于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sinx，x∈[0,2π]是非奇非偶函数．【训练2】　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsinx；(2)f(x)＝

11、sinx

12、＋1.解　(1)∵x∈R，且关于原点对称，又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，10∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，且关于原点对称，又f(－x)＝

13、sin(－x)

14、＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．方向1　利用正弦函数的单调性比较大小【例3－1】　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin196°与cos156°；(2)sin1，s

15、in2，sin3.解　(1)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°，∵0°<16°<66°<90°，∴sin16°－sin66°，即sin196°>cos156°.(2)∵1<<2<3<π，sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.0<π－3<1<π－2<且y＝sinx在上递增，∴sin(π－3)

16、】　求函数y＝－sinx＋3的单调区间．解　∵y＝－sinx＋3与y＝sinx的增减性相反．而y＝sinx的增区间是(k∈Z)，减区间是(k∈Z)．∴函数y＝－sinx＋3的单调增区间是(k∈Z)，单调减区间为(k∈Z)