高中数学初高中衔接读本专题5.1解直角三角形精讲深剖学案

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1、第1讲解直角三角形三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。【知识梳理】知识点1.三角形及其性质（1）由不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，称为三角形；（2）三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．知识点2.解直角三角形在Rt△ABC中，∠C＝90°

2、，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝；sinB＝，cosB＝，tanB＝.（4）三角函数值之间的关系①同角三角函数之间的关系：sin2α＋cos2α＝1；tanα＝.②互余两角的三角函数关系：若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB或sinB＝cosA.（5）特殊锐角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°160°4直角三角形是一种特殊的三角形，因为有勾股定理及锐角三角函数的运用

3、，使它的边角关系更加丰富，同时也为高中学习解三角形和三角函数，提供了很好的阶梯。【典例解析】1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，求斜边上的高CD.【分析】在Rt△ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，再根据面积法求出斜边上的高CD的长．【解析】sinA＝，AB＝4，∴BC＝AB·sinA＝.由勾股定理可得AC＝，由面积法，∵AB·CD＝AC·BC，∴CD＝.【解题反思】解直角三角形时，结合图形，尽可能使用题目中给出的原始数据，一般常把锐角三角函数与勾股定理结合使用.【典例解析】2

4、.天塔是天津市的标志性建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，他们在点A处测得天塔的最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得天塔的最高点C的仰角为54°，AB＝112m．根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD.(tan36°≈0.73，结果保留整数)【分析】在等腰三角形ADC中，AD＝CD，而AD＝AB＋BD＝112＋BD，所以BD＝CD－112，故又可以在直角三角形BDC中，利用∠BCD的正切把BD和CD联系在一起．4【解题反思】仰角、俯角问题是常见的实际问题，一般题目中会出现两个不同的仰角、俯角或一个仰

5、角、一个俯角.解决此类问题时，一般是先设出未知数，用同一个未知数表示问题中不同的未知量，然后根据问题中的数量关系列出方程求解.【变式训练】1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长．【分析】问题为求BC，结合AD⊥BC，可转化到图中的Rt△ABD和Rt△ADC中分别解直角三角形求得；【解析】∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4.在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∴DC＝AD＝4.∴BC

6、＝BD＋DC＝4＋4.【点评】解三角形问题需增强图形的观察能力，将所求的线段分解是一种常见的思路。【变式训练】2.将一副三角板如图所示叠放在一起，求的值.【分析】由问题所求的线段比分别在两个三角形中，需联系相似将线段比转化为可求出得线段比；【点评】问题较为复杂时，图形观察提供了很好的解题直觉，本题运用相似完成了线段比的转换，然后再运用解直角三角形解决。4【变式训练】3.某学校校门是伸缩门(如图①)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图②)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60

7、°缩小为10°(如图③)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848)∴校门打开的宽度为6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了5米．【点评】对于应用性问题，需通过阅读题意，转化为相应的数学模型，然后运用解三角形的知识解决。4