北京大学出版社

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1、第五章相似矩阵及二次型§5二次型及其标准型二次型及其标准形的概念:矩阵对角化应用称为二次型.的二次齐次函数个变量含有定义nxxxn,,,121L;,称为是复数时当faij复二次型.,称为是实数时当faij实二次型1．用和号表示对二次型二次型的表示方法2．用矩阵表示;的矩阵叫做二次型对称矩阵fA二次型与对称矩阵矩阵一一对应。解例１若要求上述二次型用矩阵记号表示出来，则应如何表示。.的秩的秩叫做二次型对称矩阵fA化二次型为标准形（法一）对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形（

2、法式）．ax2bxycy21选择适当的坐标变换化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式使它只含有平方项把方程化为标准形mx2ny21设仿照如上思路就是要使,变成标准形经可逆变换要使二次型Cyxf=()化为标准形使正交变换总有任给二次型定理fCyxaaxxafjiijnjijiij,,1,==å==().,,,21的特征值的矩阵是其中ijnaAf=lllL用正交变换化二次型为标准型二次型一定可以化成标准型用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解:1．写出对应的二次型矩阵，

3、并求其特征值例22．求特征向量当由取对应的基础解系为对应的特征向量对应的齐次线性方程组的解为当由对应的齐次线性方程组的解为取对应的基础解系为对应的特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组对进行施密特正交化4．将正交向量组单位化，得正交矩阵5．写出正交变换的形式，并写出二次型的标准型矩阵合同的定义设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使，则称矩阵A和B合同。矩阵合同的性质（合同关系的不变量）若A为对称阵，B也为对称阵。R(A)=R(B)：二次型化标准型时秩不变对称阵A，B对应的正惯性指数和负惯性指数相等。对称

4、阵A，B对应的二次型的规范形相同。二次型化标准形的过程就是将二次型矩阵化为对角阵的过程。且把这一过程称为将对称阵A合同对角化。二次型的规范型推论任给n元二次型fxTAx总有可逆变换xCz使f(cz)为规范形定义如果二次型的标准形中，其平方项的系数为1，-1或0，即则称为实二次型的规范形证明：设二次型的秩为r，则(n-r)个特征值为零，不妨设不等于0，取令y=kz而规范型的1、-1、零主要取决于特征值的正、负、零。求相似变换阵分两步：先求正交阵P，再求K阵记C=PK，即知可逆变换x=Cz,把二次型

5、变成规范二次型。（1）先通过正交变换P将二次型化为标准形。（2）再取可逆阵K，即可求得将二次型化为规范二次型的可逆变换阵C=PK将二次型化为规范形的步骤例3.,844141417323121232221化成规范形通过正交变换将二次型Pyxxxxxxxxxxf=---++=步骤：（1）先将二次型变成标准型，过程同例2此例的标准型为：在此基础上选取K阵（2）在标准型的基础上将规范型变成规范二次型正交变换阵即做相应的可逆变换可得到二次型的规范形小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对

6、称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法——拉格朗日配方法．3.用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．作业原教材P1321(1)2(1)3原教材P1371(1)(2)3(1)