向量空间及线性方程组的解结构

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1、向量空间及线性方程组的解结构.向量空间的基本概念定义1.设V是一个由n维向量构成的一个非空集合，若V对向量的加法运算和数字与向量的乘法运算封闭，则称V是一个向量空间。所谓V对向量的加法运算和向量与数字的乘法运算封闭是指：对于V中的任何元素,，以及任何一个实数，+和仍然属于V。若U是V的一个非空子集，且U也是一个向量空间，则称U是V的子空间。1).所有的n维向量组成的集合Rn是一个向量空间.2).设=(a,b,c)是一个非零的三维向量L()={(x,y,z)

2、(x,y,z)=(a,b,c),R}{(x,y,z)

3、(x,y,z)=(a,b,c)+(1,2,3),R}

4、3).设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)是两个线性无关的三维向量L()={(x,y,z)

5、(x,y,z)=+,,R}{(x,y,z)

6、(x,y,z)=++(1,2,3),,R}1.向量空间的例子4).设1,2,…,m是一组n维向量2.向量空间的基和维数设V是一个向量空间，1,2,…,rV若满足：1)1,2,…,r线性无关2)V中的任何一个向量皆可以被1,2,…,r线性表出则称1,2,…,r是V的一个基，并称V是一个r维的向量空间，或称V的维数是r.若V={0}，则称V的维数是0例1设证明：1,2,3是R3的基

7、，并把1,2用该组基线性表出证明：对矩阵(1,2,3,1,2)实施初等行变换从中可以看到1,2,3线性无关，并且：二.线性方程组的解结构1.线性方程齐次组AX=0的解向量组成的集合V={X=(x1,x2,…,xn)T

8、AX=0}构成Rn的一个子空间2.线性齐次方程组的基础解系设设A的秩r

9、2,…,Jn-r是该线性齐次方程组的基础解系。该齐次线性方程组的基础解系就是向量空间V的基，故V是一个n-r维的向量空间。例2求齐次线性方程组的基础解系。解：从而令：得该齐次线性方程组的通解：由此可知：是该齐次线性方程组的基础解系。例3证明也是上面齐次线性方程组的基础解系证明：验证向量组1,2与1,2相互等价便可由R(1,2)=R(1,2)=R(1,2,1,2),得知向量组1,2和1,2等价。即1,2也是上面齐次线性方程组的基础解系3.线性非齐次方程组的解结构1)若X=1和X=2皆是非齐次线性方程组AX=B的解，则X=1-2必然是齐次线性方程组AX=

10、0的解2)若X=是非齐次线性方程组AX=B的解;X=是对应的齐次线性方程组AX=0的解，则X=+仍然是非齐次线性方程组的解3)非齐次线性方程组的通解等于所对应的齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解证明：设1,2,…,n-r是所对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系，是非齐次线性方程组AX=B的一个特解一方面，由2）得知：对于任何一组数c1,c2,…,cn-r,X=c11+c22+…+cn-rn-r+是非齐次线性方程组AX=B的解另一方面，若X=是非齐次线性方程组AX=B的一个解，则由1）得知X=-是所对应的齐次线性方程组AX=0的一个解从而存在一组数

11、c1,c2,…,cn-r使得-=c11+c22+…+cn-rn-r即：=c11+c22+…+cn-rn-r+综上所述，非齐次线性方程组AX=B的通解为:X=c11+c22+…+cn-rn-r+例4.求方程组的一个特解以及对应的齐次线性方程组的基础解系解：,即令:x2=c1,x4=c2,则非齐次方程的通解为:对应齐次方程的基础解系为:,非齐次方程的一个特解为: