多自由度体系自由振动分析

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1、第10章多自由度体系无阻尼自由振动分析结构动力特性分析－特征值问题的性质结构无阻尼自由振动方程将简谐运动代入上式可得（10-1）（10-2）（10-3）方程（10－3）为特征值问题。对特征方程分析可得一个动力系统的固有频率以及振型。1、固有频率从方程（10－3）可知：要获得{a}非零解，必须要求矩阵系数行列式为零：（10-4）式（10－4）称为系统的频率方程，对其进行行列式展开可以获得一个关于ω2的n次（自由度数）的代数方程，它的n个根表示系统可能的n个振型的频率。结构动力特性分析－特征值问题的性质

2、2、振型(10-5)由频率方程式（10－4）求得系统n个固有频率后，可以将任一个固有频率回代入特征方程（10－3），以获得对应的振幅向量{a}：式中：(10-6b)(10-6a)上式中，由于系数矩阵的行列式为零，因此是不定方程。对振幅向量除以a1，并记以及，式(10－5)可以拆分为两个独立的系列：将（10－5）式振幅向量除以a1后，可以按以下红线将系数矩阵[k]和振幅向量划分为子矩阵表示：由于式（10－6b）对应方程组是确定的，可以从中解得n-1个未知量：a2/a1、a3/a1、…、an/a1，因此可以得

3、到对应方程（10－5）的一组振幅向量，称为关于固有频率的振型向量。式（10-6a）是一个多余方程，通常可以由于校核解的正确性。所有n个标准振型向量构成了一个方阵[Φ]:称为振型矩阵。振型矩阵：标准振型：通常固有频率对应的振幅向量（振型）用其无量纲形式给出，将{a}中各分量均除以它的最大分量，即得到第k标准振型：式中：φik表示第k振型曲线中第i自由度对应的无量纲化位移。多自由度体系动力特性分析（举例）如图所示结构，E=2.6x107kN/m2，各柱尺寸0.6x0.6m.求自振频率和振型。EI=∞EI=∞m

4、2=40tm1=60t4m6m解：用刚度法得k22k12k21k11Δ1＝1Δ2＝1则质量阵和刚度阵为由频率方程解得：频率方程为：1.00.8871.00.751振型1（令）：振型2（令）：Betti定理：若一结构分别受两种荷载体系作用并引起了相应的位移，则荷载体系1在荷载体系2对应位移上所作的功等于荷载体系2在荷载体系1对应位移上所作的功。荷载a:荷载b:情况1（先加载荷载a，然后加载荷载b）：加荷载b：加荷载a：总功为：情况2（先加载荷载b，然后加载荷载a）：加荷载a：加荷载b：总功为：由于结构变形与

5、加载次序无关，因此在两种情况下荷载作功应相等：振型正交性（1）Betti定理振型正交性（2）利用Betti定理证明振型正交性振型“n”:振型“m”:如将自由振动看作由惯性力引起的变形，将两个振型对应的惯性力作为施加荷载，振型即为惯性力荷载作用引起的位移（如右图所示）。对此体系应用Betti定理：由于惯性力向量可表达为：将此代入式(I)，并注意[m]对称性，得：(I)或写为由于，则上式给出：质量阵正交性：将运动方程改写为：上式两边同乘：刚度阵正交性：归一化振型显然，归一化振型可以由标准振型{φ}获得：在结构

6、动力分析中，常用到正交归一化振型。一个振型如满足以下条件则称为归一化振型，用记号表示：对于刚度阵，有：（1）如果[m]和[k]都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一定是实数，而特征向量也可以是实向量。如果[m]正定，并且[k]为正定或半正定，则所有特征值都是正的实数。从数学角度理解特征系统的基本特性上述方程即为线性代数理论特征值问题，其中特征值λ对应系统的固有频率ω2，特征向量[φ]为系统的标准振型。将多自由度体系无阻尼自由振动运动方程：改写为：（2）特征向量（或模态向量）关于质量矩阵[m]和刚度矩阵[

7、m]正交，即：一个特征系统具有以下特性：特征系统的基本特性（续）(3)Rayleigh商和特征值的极大极小性质定义：可以证明，对于任意{x}有:得到第i阶特征值:由振型正交性可得，当{x}为系统的某阶特征向量时，则有:注意！！对于任意向量{x}，R({x})的最小值是最小特征值λ1。如果对{x}施加约束，即选定向量{v}，在满足{x}T{v}=0（即两个向量正交）的约束下选择{x}，则在计算Ralyeigh商的极小值时，选取不同的{v}可得到不同的极小值。当{v}为系统的第一阶特征向量时，这些最小值集合的

8、最大值是系统的第二特征值。依此类推，如果使Ralyeigh商收敛到第i阶特征值，则需要i-1个约束。通过极小和极大化过程，可以得到第i阶特征值。或写为：上式称为特征值的极大极小性质。利用特征值的极大极小性质，可以求取结构的任意特征值。特征系统的基本特性（续）(4)特征值的移轴性质或写为：式中：式（10-7）和标准特征值方程有相同的特征向量，但特征值相差μ，即：将特征值方程两边分别减去，则有另一等价形式：(10-7)(5)特征值