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1、2007年第9期数学教学研究33平面向量的数量积在中学数学解题中的妙用史建军张无忌(江苏省丹阳高级中学212300)向量是解决数学问题的一种重要工具,由于向2)求出相关点的坐标,用向量的数量积公式.量融数、形于一体,因而成为中学数学知识的一个交拓展与引申任两个不共线非零向量a=(x1,汇点.向量的引入,揭示了数学知识之间的纵横联y1),b=(x2,y2),为a,b的夹角,∃[0,].由夹系,进一步发展和完善了中学数学知识结构体系,拓a!bx1x2+y1y2角公式cos==,宽了研究和
2、解决问题的思维通道,也为激发和培养
3、a
4、!
5、b
6、x2+y2!x2+y21122学生的探索精神和创新意识提供了更广泛的途径.知cos的正负由分子x1x2+y1y2确定,于是得如下而向量的数量积作为向量中的一个重要知识点,在结论:中学数学中有着广泛的应用,本文试图以向量的数1)为锐角x1x2+y1y2>0a!b>0(0);量积为工具,来探究一些问题的解法.2)为直角x1x2+y1y2=0a!b=0;1夹角问题3)为钝角x1x2+y1y2<0a!b<0().22xy其中,结论2)也是证明垂直问题的重要方法
7、,例1(2000年全国高考)椭圆+=1的焦94特别地,若要求出a,b的夹角的大小,则须计算出点为F,F,点P为其上一动点,当FPF为钝角1212a!bx1x2+y1y2时,点P的横坐标的范围是.
8、a
9、!
10、b
11、或2222的值.x1+y1!x2+y2解析F1PF2为钝角2面积问题cosF1PF2<0(F1PF2)例2如图1,若O为坐标
12、PF1
13、!
14、PF2
15、!cosF1PF2<0原点,A,B为抛物线y2=2px(pPF1!PF2<0.>0)上的点,设S%AOB=t!因为F1(-5,0),F2(5,0),设
16、P(x0,y0),则tanAOB,求t的最小值.PF1=(-5-x0,-y0),PF2=(5-x0,-y0).分析由条件S%AOB=t!所以PF!PF=(-5-x)(5-x)+y2<0,112000tanAOB与S%AOB=
17、OA
18、!222图1即x0+y0-5<0.
19、OB
20、sinAOB比较可知:22又点P(x,y)在椭圆上,x0+y0=1.10094t=
21、OA
22、!
23、OB
24、cosAOB.2293535而
25、OA
26、!
27、OB
28、cosAOB=OA!OB,所以x<,即-29、何中的∀角#,通常和直线的斜率解设lAB与x轴交于点M(a,0),则lAB:密切相关,因此,解析几何中的∀角#的问题,一般有y=k(x-a).两种处理方法.y=k(x-a),22p由得y-y-2pa=0.1)求出有关的斜率,用∀夹角#或∀到角#公式,y2=2px,k2本题中可用∀到角#公式:tanF1PF2=所以x1x2=a,y1y2=-2pa,k-k1PF2PF1而S=
30、OA
31、!
32、OB
33、sinAOB,因为F1PF2是钝角,故只需令%AOB21+k!kPF2PF11tanF1PF2<0即可求得点P横坐标的范围;=(
34、OA!OB)tanAOB.234数学教学研究2007年第9期由题意知:反思本题若改为:设a,b∃R+,且a+b=1,求t=1(OA!OB)=1(xx+yy)1221212证2a+1+b+∋.因为a,b的系数不等,223222=1(a2-2pa)=1(a-p)2-p&-p.运用基本不等式则较困难.此时,可构造向量:m=2222p2a+1,b+1,n=(2,1).由m!n∋
35、m
36、故当a=p时,tmin=-.232!
37、n
38、即可证明.因此,在此类问题中,运用向量不等评注与传统的求三角形面积方法相比,本题
39、式更具有一般性.用向量的数量积巧妙地避开了求三角形的底和高拓展与引申设a,b是两个非零向量,为a,b(本题中%AOB的底和高都非定值),OA!OB和条的夹角,则由a!b=
40、a
41、!
42、b
43、cos∋
44、a
45、!
46、b
47、,有件S%AOB=t!tanAOB联系得更紧密,从而使问题222(a!b)∋
48、a
49、!
50、b
51、,(1)向着有利的方向发展.当a,b共线时等号成立.反思本题中,%AOB的面积,t,tanAOB都是不等式(1)有两个重要模式值得关注:变量,因此用传统的方法难以入手,而用向量的数量2221)结构的完整性.
52、a
53、,
54、b
55、以及
56、(a!b)这三积却巧妙地解决了这一问题.仔细思考后可以发现,个式子必须整体出现,不可分解.平面向量的数量积公式a!b=
57、a
58、!
59、b
60、cos和三222)结构的独立性和方向性.
61、a
62、和
63、b
64、地位平1角形面积公式S=2absin存在着千丝万缕的联等,相互独立,一般位于不等式(1
