弯曲变形和刚度计算

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1、第九章梁的弯曲变形与刚度计算工程力学12、挠曲线的近似微分方程3、用积分法求梁的变形4、用叠加法求梁的变形第九章梁的弯曲变形与刚度计算5、梁的刚度计算及提高梁的刚度的措施1、工程中的弯曲变形问题6、简单超静定梁7、梁的弯曲应变能29.1工程中的弯曲变形问题弯曲变形弯曲构件除了要满足强度条件外,还需满足刚度条件。如车床主轴的变形过大会引起加工零件的误差。车间内的吊车梁若变形过大，将使吊车梁上的小车行走困难，出现爬坡现象。34汽车车架处的钢板弹簧应有较大的变形，才能更好地缓冲减振。5PAB9.2挠曲线的近似微分方程一

2、、弯曲变形的量度yx1.挠曲线：变形后梁的轴线。2.挠度ω：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。向上为正。x挠曲线方程：3.转角θ：横截面绕中性轴转过的角度，即y轴与挠曲线法线的夹角，或x轴与挠曲线切线的夹角。逆时针方向为正。小变形：挠曲线弯曲变形即:截面转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率。6弯曲变形横力弯曲时,如果是细长梁,可略去剪力对梁的变形的影响，但M和都是x的函数：纯弯曲时曲率与弯矩的关系式为：由几何关系知,平面曲线w=f(x)上任意一点的曲率可写作：7由于挠曲线是一条非常平坦的曲线,ω'2远比1小,可以

3、略去不计,于是上式可写成：称为梁的挠曲线近似微分方程M0yxMMM<0MM弯矩M与二阶导数ω''的正负号始终一致EI称为梁的弯曲刚度,EI越大弯曲后梁的变形（挠度和转角）越小，梁抵抗弯曲变形的能力越强。89.3用积分法求梁的变形挠曲线近似微分方程：C、D——积分常数；由边界条件和连续性条件确定。弯曲变形若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量,上式可改写成：上式积分一次得转角方程：再积分一次,得挠度方程：9弯曲变形在简支梁中,左右两铰支座处的挠度wA和wB都应等于零。在悬臂梁中,固定端处的挠度wA和转角A都应等

4、于零。ABwA＝0wB＝0ABwA＝0A＝0边界条件(boundarycondition)ABAB不可能不可能连续性条件(Continuitycondition)在挠曲线的任一点上,有唯一确定的挠度和转角。如:10问题讨论：xycBA分几段？问题的边界条件、连续条件？边界条件连续条件A处：wA=0B处：wB=0AB、BC两段B处：w1=w2q1=q2A处：wA=0，qA=0分OA一段。OqA11例：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用。试求梁的挠度方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大

5、转角max。ABlxxy解：以梁左端A为原点,取直角坐标系如图，令x轴向右,y轴向上为正。(1)列弯矩方程F(2)列挠曲线近似微分方程并积分12(3)由边界条件确定积分常数代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0ABlxxyF在x＝0处:w＝0θ＝013ABlxxwF(4)建立转角方程和挠度方程将C1和C2代入式(a)和(b),得梁的转角方程和挠度方程分别为：(5)求最大转角和最大挠度自由端B处的转角和挠度绝对值最大。wmaxmax所得的挠度为负值,说明B点向下移动;转角为负值,说明横截面B沿顺时针转向转

6、动。14RBRAlABq例：用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。解：(1)求支座反力，写弯矩方程(2)建立挠曲线近似微分方程，并积分(3)利用边界条件确定积分常数15(5)求转角和挠度的最大值(4)求转角方程、挠度方程弯曲变形的对称点：θ＝0。弯曲变形ABqxyqAqBwmaxl/216例：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角。解:（1）写出弯矩方程以左端A为坐标原点，将梁分为I和II两段,其

7、弯矩方程分别为:求出梁的支反力为:xlABFabFAFBDIII17梁段I(0xa)梁段II(axl)（2）建立挠曲线近似微分方程并积分积分一次转角方程再积分得挠曲线方程挠曲线方程在对梁段II进行积分运算时,对含有(x-a)的弯矩项不要展开,而以(x-a)作为自变量进行积分,这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。18D点的连续条件：在x=a处,q1＝q2,w1＝w2边界条件:在x=0处,w1＝0在x=l处,w2＝0代入方程可解得:（3）由边界条件和连续条件确定积分常数xlABFabFAFBDIII19梁

8、段I(0xa)梁段II(axl)将积分常数代入得：转角方程挠曲线方程20对于简支梁而言，最大转角一般发生在梁的两端截面处，将x=0和x=l分别代入转角方程有：当a>b时,右支座处截面的转角绝对值为最大:（4）确定最大转角与最大挠度xlABFabFAFBDIII21根据极值条件，在w'＝0即q=0处，w取得极值。研究第一段梁,令w'1＝0得：当a>b时,x1