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1、实用文档用三垂线法求二面角的方法三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：如图,PB是平面的斜线,PA是平面的垂线,直线a平面,直线a垂直;射影AB.ABP求证：aPB证明：∵PA是平面的垂线,直线a平面∴直线aPA又∵直线aABABPA∴直线a平面PAB而PB平面PAB∴aPB总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA和平面垂直;②射影AB和直线a垂直;③斜线PB和直线a垂直.三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何
2、中有广泛的应用。求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。运用三垂线法求二面角的一般步骠：①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。.②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义)。③求：二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度)。ABDC1、如右图所示的四面体中，平面BCD，且，，①求二面角的大小；②求二面角的大小；1．解：①∵面∴∴为二面角的平面角∵
3、且∴=∴二面角的大小为②∵面∴由三垂线定理得∴为二面角的平面角∵∴∵平面BCD∴∴在中，，∴二面角的大小为方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线AB、斜线AC及其射影BC,。从而得到二面角的平面角为。标准文案实用文档22正视图侧视图2．如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为VB的中点．求二面角A—VB—D的余弦值．VEADBC2俯视图2解:取AB的中点P,连结VP、DE，则由题意可知VP⊥平面ABCD，∴DA⊥VP又∵AD⊥AB∴AD
4、⊥平面VAB∵是正三角形，E为VB的中点，∴AE⊥VB，∴由三垂线定理得VB⊥DE.所以就是所求二面角的平面角.由已知得DA=2,AE=∴DE=∴故二面角A—VB—D的余弦值为．方法点拨：本题的关键是过二面角的一个平面VBD上一点D到二面角的另一个平面AVB的垂线D则斜线为DE,其射影为AE从而得到二面角的平面角为。,。.3．一个三棱锥的三视图、直观图如图．求二面角的正切值．3解：由正视图、俯视图知；由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则，平面，；由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC
5、的中点O，则，平面，．如图．作于H，作交AB于E，则，连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而，故由标准文案实用文档三垂线定理得，∴为二面角的平面角．△ABC中，易求得，由△ABO的面积相等关系：，得，中，，故二面角的正切值为.方法点拨：本题的难点是过二面角的一个平面SAB上一点S作二面角的另一个平面ABC的垂线SO,再过垂足O作二面角的棱AB的垂线,从而得到斜线SE及其射影OE,从而得到二面角的平面角为。4．如图，是以为直角的三角形，平面ABC，SCDBNASA=BC=2，AB=4.N、D分别是AB、BC的中点。求二
6、面角S—ND—A的正切值．4.解：过A作AFDN且与DN的延长线相交于点F，连接SF∵平面ABC∴由三垂线定理得∴就是二面角S—ND—A的平面角，SCDBNFA在中,在中，∴∴故二面角S—ND—A的正切值为．方法点拨：本题的关键是找到从二面角的一个平面SND上一点S到二面角的另一个平面AND的垂线AF,过垂足A作二面角的棱DN的垂线AF,从而得到斜线AF及其射影AF,从而得到二面角的平面角为。5.如图所示，圆柱底面的直径长度为，为底面圆心，正三角形的一个顶点在上底面的圆周上，为圆柱的母线，的延长线交于点，的中点为.求二面角的
7、正切值.标准文案实用文档5.解：取BC的中点K取OC的中点N则KN∥∵F是PB的中点∴FK∥PC∵为圆柱的母线∴⊥平面∴FK⊥平面∵正三角形中，为AB的中点∴⊥∴由三垂线定理的逆定理得⊥∴⊥∴由三垂线定理得CE⊥FN∴为二面角的平面角由已知得∴∴∴=,即二面角的正切值为.方法点拨：本题的难点是找到二面角的一个平面BCE的垂线PC,则过二面角的一个平面FCE上一点F作PC的平行线FK就是二面角的另一个平面BCE的垂线,过垂足K作二面角的棱CE的垂线KN,从而得到斜线FN及其射影KN,从而得到二面角的平面角为。BACDPF6、如
8、图，P-AD-C是直二面角，四边形ABCD是∠BAD=1200的菱形，PA=AB=2，PA⊥AD，试问在线段AB(不包括端点)上是否存在一点F，使得二面角A-PF-D的大小为450?若存在，请求出AF的长，若不存在，请说明理由．6.解：设AF=x,过点D作BA延长线的垂线DH，垂足为H。∵
