第五章 时变电磁场

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1、第五章时变电磁场主要内容：本章在介绍法拉第电磁感应定律及位移电流假说之后，导出麦克斯韦方程组和它在电磁边界上的形式，再由麦克斯韦方程组的限定形式，导出坡印廷定理及波动方程；在引入动态位的概念之后，导出动态位所满足的达朗贝尔方程，并通过其解的物理意义，引入滞后位；在介绍时谐场的复数表示之后,介绍麦克斯韦方程组、坡印廷定理、波动方程及达朗贝尔方程的复数形式。最后，介绍电与磁的对偶性。5.1法拉第电磁感应定律一、法拉第电磁感应定律感应电动势：法拉第发现当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流，表明此时回路中存在电动势，这就是感应电动势。著名

2、的法拉第电磁感应定律：法拉第发现进一步的研究发现，感应电动势的大小和方向与磁通量的变化有密切关系。当通过导体回路所围面积的磁通量发生变化时回路中就会产生感应电动势，其大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量的改变，即(5-2)式中负号即表示回路中感应电动势的作用总是要阻止回路中磁通量的变化。这里已规定：感应电动势的正方向和磁力线的正方向之间存在右手螺旋系。设任意导体回路围成的曲面为，其单位法向矢量为，如图5.1所示。图5-1感应电动势的正方向和磁通的方向回路附近的磁感应强度为，穿过回路的磁通于是（5-2）可以写成（5-3）二、法拉第电

3、磁感应定律的积分与微分形式从一般意义上讲，电流是电荷的定向运动形成的，而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结果。所以，当磁通量发生变化时导体回路中产生感应电流，这一定预示着空间中存在电场。这个电场不是电荷激发的，而是由于回路的磁通量发生变化而引起的，它不同于静电场。当一个单位正电荷在电场力的作用下绕回路c一周时，电场力所做的功为它等效于电源对电荷所做的功，即电源电动势。此时电源电动势就是感应电动势,有（5-4）式（5-3）右边的表示穿过面积s的磁通量随时间的变化率，而磁通量变化的原因可以归结为两个：回路静止（既无移动又无形变），磁场本身变化；磁场不变

4、，回路运动（包括位移和形变）。1.法拉第电磁感应定律的积分形式当回路静止时，磁通量的变化是因磁场随时间变化而引起的，时间导数可以换成时间偏导数，并且可以移到积分内，故有(5-5)2.法拉第电磁感应定律的微分形式利用斯托克斯公式，并考虑到回路c(或面积s)的任意性，得(5-6)这就是，是时变场的一个基本方程，同时也是麦克斯韦方程组中的一个方程。对法拉第电磁感应定律的解释：♠式中的电场强度是因磁场随时间变化而激发的，称为感应电场。♠感应电场是有旋场，其旋涡源为，即磁场随时间变化的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。故又称为涡旋电场。♠式（5-6）

5、虽然是对导体回路得到的，但是它对任意回路（不一定有导体存在）同样成立。♠当磁场随时间的变化率为零时，有,这与静电场所得的形式完全相同，因此静电场实际上是时变电场的特殊情况。如果空间中还存在静止电荷产生的库仑电场,则总电场为，这时（5-7）（5-8）♠当导体回路以速度运动时，利用关系式和，可以得到（5-9）等式右边的两个积分分别对应着磁场变化和导体运动的贡献。当磁场不随时间变化时，有（5-10）比较等式两边，。得当导体在磁场中运动时，其内部的电荷随之运动，导体中电荷受到的洛伦兹力为。显然，导体中的感应电场实际上是导体中单位电荷所受的洛仑兹力，同时也可以说

6、明，感应电场是由于电荷在磁场中运动而形成的。5.2位移电流矛盾分析:★静态下:，★★非静态下:(法拉第电磁感应定律所揭示的一个极为重要的电磁现象—变化的磁场可以激发电场)。★静态下，安培环路定律，★★非静态下，安培环路定律是否也有所变化呢？如果发生变化，又会产生什么物理现象呢？★★非静态情况下,再由电荷守恒定律得（这一个结果是由电荷守恒定律得到的，而电荷守恒定律是大量试验总结出的普遍规律，显然这显然这个结果应该是正确的）。假定非静态情况下方程仍然成立，对此方程边取散度，有。利用恒等式,得（一个结果是在假定静态场的安培环路定律在非静态时仍然成立的条件得出

7、的）。解决矛盾的方法:必须对静态情况下所得到的安培环路定律作相应的修正。修正的思路：1.在方程的右边加入一个附加项,即有,且满足;2.加入的应该具有合理的物理意义。对高斯定理的两边求时间的偏导数，得:。如果令,可得:（5-11）显然，此时。式（5-11）就是时变场的安培环路定律的微分形式，是麦克斯韦方程组中的一个，其中的,即为位移电流密度。这里已经解决了前面所述的矛盾，但是附加项位移电流密度的物理意义如何？是否符合物理事实？下面将进一步讨论。时变场的安培环路定律也具有积分形式，即:（5-12）式中，和分别为穿过回路所围区域的真实电流（传导电流和运流电流

8、）和位移电流。对安培环路定律和位移电流的诠释：1.在时变电场情况下，磁场仍然是有旋场，但其旋涡