第11讲 页码与数字问题 奥数,学而思,超常班

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1、2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳第十一讲页码与数字问题这一讲的标题是从形式上定义的，其实本讲侧重的是奥数中七大重点模块中计数问题，和数论模块中的位值原理。一、枚举计数分类枚举一定要选恰当的顺序和分类的标准才能不重不漏。本讲的例1侧重的是分类枚举，是对加法原理的渗透。补充小题：一本书共250页，求编码时需要多少个数码？分析与答：由于本书的页码有一位数、两位数、三位数；而几位数就需要几个数码。故须分类计数，再相加。一位数：有9个，共需9×1=9个数码；两位数：有90个，共需90×2=180个数码；三位数：有250-99=151个，共需151×3=453个数码；共需

2、9+180+453=642个数码。【记住规律：一位数：1~9，有9个；两位数：10~99，有99-10+1=90个，或99-9=90；三位数：100~999，有999-100+1=900个，或999-99=900个；四位数：9000个；……】例1：给一本书编码，一共用了723个数字，这本书一共用多少页？分析与答：刚才例子是正着问，此题倒着问。边尝试边计算：一位数：有9个，共计用去9个数码；两位数：有90个，共需90×2=180个数码；三位数：有900个，共需900×3=2700个数码；而此题只有723个数码，多于9+180，小于9+180+2700，说明数的页数是三

3、位数。一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，还剩723-189=534个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，则还有534÷3=178个三位数，第178个三位数是99+178=277，故本书有277页。学案1：一本书的页码，在印刷时必须用198个铅字，自这一本书的页码中数字1出现多少次？分析与答：此题是在例1的基础上再加深一步。要想求1出现的次数，必须知道本书有多少页，这就完全转化成利1。一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，还剩198-189=9个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳则还有9÷3=3个三位

4、数，第3个三位数是102，故本书有102页。那么本题转化为：一本书有102页，问1出现多少次？即相当于问：1~102里1出现的次数。数少时可以按由小到大的顺序枚举，即便如此，也很少有孩子能一次想全。因此，为使计数不重不漏，我们一定要按照一定的顺序枚举。本题来说最好的枚举顺序我认为是这样的：最多有3位数，因此，1如果出现一定是在个位、十位、或百位。所以我们把个、十、百位的1分类计数，然后再相加。个位1：1,11,21,31，……，101。有11个；十位1：10，11,12，……，19。。有10个；百位1：100,101,102。有3个。1出现24次。例1改编：给一本书

5、编码，一共用了723个数字，这本书1出现多少次？分析与答：同例1，先求出本书有277页。相当于问1~277里1出现几次。个位1：上题中数较少我们虽分类枚举，但每一类，还是一一数出来。个位1还可这样来求，每连续10个数，在个位出现一次1，277÷10=27……7。10个一组分成27组还余下7个数。【（1~10）（11~20）（21~30）……（261~270）余下271~277。】每组中有1个个位1,27组共27个，余下数字中271也有一个。故个位1共有27+1=28个；十位1：10~19,110~119,210~219，共3×10=30个；百位1：100~199，共

6、100个。共28+30+100=158个。二、计数和数论的综合题例2：（1）1~3998这些自然数中，有多少个能被4整除？分析与答：【最简单的方法是找规律，除以几，余数就有几种可能，如除以4，余数可能0~3，共四中，连续自然数（或等差数列）除以同一个数余数肯定成周期，周期为除数】123456789……除以4余数123012301……周期为4,3998÷4=999……2，余下的2个为1和2，因此能被4整除的共999个。注意：在这个范围内被4整除的和除以4余3的有999个；除以4余1的和除以4余2的都有999+1=1000个。改编小题：1234~3998这些自然数中，有

7、多少个能被4整除？分析与答：1234~3998共有3998-1234+1=2765个数。123412351236123712381239124012411242……除以4余数230123012……周期为4,2765÷4=691……1，余下的一个是2，因此能被4整除的有691个。注意：在这个范围内被4整除的、除以4余3以及除以4余1的有691个；除以4余2的都有691+1=692个。2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳例2：（2）1~3998这些自然数中，有多少个各位数字和能被4整除？分析与答：一个数除以N，余数可能为0~N-1，共计N种情况。一个数除以4，余数