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1、第四章整环里的因子分解§4.1不可约、素元、最大公因子1.证明:不是任何元的真因子.注这里的是指整环的零元,“任何元”是指整环中的任何元.证明由于不能整除整环中的非零元,因此不是整环中的非零元的真因子.虽然整除,但与相伴,因此不是的真因子.所以不是整环中任何元的真因子.2.找出Gauss整数环的所有单位.解假设,使得是中的单位,则存在,使得,从而,.由此可见,.所以就是中的所有单位.3.证明:在Gauss整数环中,是不可约元,是可约元.证明显然,和既不是零元,也不是单位.设,使得.于是.显然.因此或,从而,是单位或是单位.所以是不可约元.由可知,和
2、都是的真因子.所以是可约元.4.设是整环,,直接证明:～.证明由于是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),,.因此存在,使得,～.5.设是整环的素元,(),证明:至少存在一个(),使.证明我们用数学归纳法来证明.当时,根据素元的定义,我们的断言成立.假设当()时,结论成立.当时,根据素元的定义,或.若不整除,则.于是,根据归纳假设,至少存在一个(),使.所以当时,我们的断言成立.6.设整环中任意两个元的最大公因子都存在,是中11个不全为零的元,若,证明:是的最大公因子互素.证明假定.不互素中存在元素和非零、非单位的元素,使得中存在元素和
3、非零、非单位的元素,使得不是的最大公因子.所以是的最大公因子互素.§4.2惟一分解环1.证明:整环不是惟一分解环.证明显然,,都不是单位,也都不是零元,和都不是的相伴元,但是.所以不是惟一分解环.2.证明:Gauss整数环中,是唯一分解元.证明首先,由§1习题第2题知,在中只有和是单位.其次,显然都不是零元和单位元.事实上,是中的不可约元.为了阐明这一事实,考察任意的.若,则,由此可见,或,从而,是单位或是单位.因此没有非平凡的因子.所以是中的不可约元.当然,它们的相伴元,,也都是不可约元.现在设,使得.(*)于是,.由此可见,或.当,是中的单位,
4、从而,是的相伴元.这时(*)式不是的不可约元分解式.当时,的值只能是如下八个数之一:,,,.显然,这八个数都是的真因子.这样一来,根据(*)式可以断言,是的不可约元分解式,并且:对于的任意一个不可约元分解式,必有11;必要时,交换和的下标和次序后,与相伴且与相伴.所以是唯一分解元.2.按惟一分解环定义直接证明定理4.11.注定理4.11的内容如下:在一个惟一分解环中,每一个不可约元都是素元.证明设是一个不可约元.任意给定,并假设.于是,存在,使得.当或时,显然或.当为单位时,有,从而,.同理,当为单位时,有.现在假定和都不是零元和单位.显然,不是零
5、元,也不是单位.由于是惟一分解环,不妨设,,.其中,(),()和()都是不可约元.于是,.(*)由于是惟一分解环,可以断言:或者存在(),使得与相伴,从而,;或者存在(),使得与相伴,从而,.总而言之,或.这样一来,由于的任意性,我们断言是素元.4.设是惟一分解环,是中()个元,证明:在中的最大公因子存在,且任意两个最大公因子互为相伴元.证明首先,我们用数学归纳法来证明有最大公因子.事实上,定理4.10告诉我们,当时,结论成立.假设当)时结论成立.现在考察的情形:根据归纳假设,不妨设是的一个最大公因子.根据定理4.10,可设是与的最大公因子.显然,
6、是的一个公因子.假设是的一个公因子.则是一个公因子.由于是的一个最大公因子,因此.由于,因此是与的公因子.这样一来,由于是与的最大公因子,因此.所以是的一个最大公因子.所以当时有最大公因子.§4.3主理想环1.设是主理想环,是的一个最大公因子,证明:,使.证明根据定理3.16的推论2,,其中表示生成的理想.根据定理4.15,.因此.由可知,存在,使.2.设是主理想环,,证明:互素,使.证明根据定义4.8、第1题、定理3.16的推论2以及定理4.15,我们有11互素是与的一个最大公因子存在,使是与的一个最大公因子.所以互素,使.3.设是主理想环,,证
7、明:(1)若互素,且,则;(2)若互素,且,,则.证明(1)当时,由可知,;由与互素可知,是单位.因此.所以.当是单位时,显然.假设既不是,也不是单位.由于,因此既不是,也不是单位;从而,和都不是.若是单位,则由可知.现在假定不是单位.由于是主理想环,根据定理4.14,是惟一分解整环.不妨设,,其中和都是中的既约元.于是存在,使得.由于与互素,因此(与(不相伴.这样一来,由上式可知,可以表示成如下形式:.所以.(2)显然,当或时,,从而,;当是单位或是单位时,.现在假设和既不是,也不是单位.由于是主理想环,根据定理4.14,是惟一分解整环.不妨设,
8、,其中和都是中的既约元.于是,,.如果与互素,那么,(与(不相伴.这样一来,因为是唯一分解整环,可以表示成如下形式:.所以
