图像变换2离散余弦变换

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1、3.2离散余弦变换图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其他一些有用的正交变换。其中离散余弦就是一种。离散余弦变换表示为DCT。13.2.1离散余弦变换的定义一维离散余弦变换的定义由下式表示(3—74)(3—75)2式中是第个余弦变换系数，是广义频率变量，；是时域N点序列，一维离散余弦反变换由下式表示(3—76)显然，式(3—74)式(3—75)和式(3—76)构成了一维离散余弦变换对。3二维离散余弦变换的定义由下式表示(3—77)4式(3—77)是正变换公式。其中是空间域二维向量之元素。，是变换系数阵列之元素。式中表示

2、的阵列为N×N5二维离散余弦反变换由下式表示(3—78)6789余弦变换与傅里叶变换有什么关系？10式中的符号意义同正变换式一样。式(3—77)和式(3—78)是离散余弦变换的解析式定义。更为简洁的定义方法是采用矩阵式定义。如果令N＝4，那么由一维解析式定义可得如下展开式(3—79)11写成矩阵式(3—80)若定义为变换矩阵，为变换系数矩阵，为时域数据矩阵，则一维离散余弦变换的矩阵定义式可写成如下形式(3—81)12同理，可得到反变换展开式(3—82)写成矩阵式13即(3—84)当然，二维离散余弦变换也可以写成矩阵式(3—85)

3、式中是空间数据阵列，是变换系数阵列，是变换矩阵，是的转置。143.2.2离散余弦变换的正交性由一维DCT的定义可知它的基向量是(3—86)15在高等数学中，切比雪夫多项式的定义为(3—87)16式中是和的多项式。它的第N个多项式为如果那么将此式代入17显然，这与一维DCT的基向量是一致的。因为切比雪夫多项式是正交的，所以DCT也是正交的。另外，离散余弦变换的正交性也可以通过实例看出。如前所示，当N＝４时，(3—88)则18显然这是满足正交条件的。从上述讨论可见，离散余弦变换是一类正交变换。193.2.3离散余弦变换的计算与傅里叶

4、变换一样，离散余弦变换自然可以由定义式出发进行计算。但这样的计算量太大，在实际应用中很不方便。所以也要寻求一种快速算法。首先，从定义出发，作如下推导20(3—89)21式中是取其实部的意思。如果把时域数据向量作下列延拓，即：(3—90)则的离散余弦变换可写成下式22(3—91)23由式(3—91)可见是2N点的离散傅里叶变换。所以，在作离散余弦变换时，可以把序列长度延拓为2N，然后作离散傅里叶变换，产生的结果取其实部便可得到余弦变换。24同样道理，在作反变换时，首先在变换空间，把作如下下延拓(3—92)那么，反变换也可用式(3—

5、93)表示25(3—93)26由式(3—93)可见，离散余弦反变换可以从的2N点反傅里叶变换实现。273.3离散K-L变换又称为霍特林(Hotelling)变换KL(Karhunen-Loeve)或DKT以图像的统计性质为基础的变换核矩阵由图像阵列的协方差矩阵的特征值和特征向量所决定－又称为特征向量变换28当变量之间存在一定的相关关系时，可以通过原始变量的线性组合，构成数目较少的不相关的新变量代替原始变量，而每个新变量都含有尽量多的原始变量的信息。这种处理问题的方法，叫做主成分分析，新变量叫做原始变量的主成分。目的是寻找任意统计

6、分布的数据集合之主要分量的子集。相应的基向量组满足正交性且由它定义的子空间最优地考虑了数据的相关性。将原始数据集合变换到主分量空间使单一数据样本的互相关性(cross-correlation)降低到最低点。29图像协方差矩阵假设对某幅N×N的图像f(x,y)，在某个传输通道上传输了M次，因会受到各种因素的随机干扰，接收到是一个图像集合将M次传送的图像集合写成M个N2维向量{X1,X2,…Xi,…XM},生成向量的方法可以采用行堆叠或列堆叠的方法，对第i次获得的图像fi(x,y)，可用N2维向量Xi表示：30问题是：如何选取一个合

7、适的正交变换A，使得变换后的图像Y=AX1)是具有M<

8、和特征向量很困难。这是因为CX是N2×N2维矩阵，尽管图像的大小N可能不是很大的，但N2却是很大的数据。这样求其特征向量和特征值速度较慢。但如果样本图象个数M不太多，可以先计算出M×M维方阵L＝ATA的特征值μk和特征向量vk左乘矩阵A，则有是矩阵CX的特征向量