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《A1(910)连续函数性质与闭区间上连续函数的性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§9.连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性定理：设f(x),g(x)在点x0处连续，则(1)f(x)±g(x)在点x0处也连续；(2)f(x)·g(x)在点x0处也连续；在点x0处也连续。例：讨论(1)y=xn,(2)y=tanx的连续性。(1)∵y=x在其定义域(-∞,+∞)连续，∴y=xn=x·x·…·x(有限个x的乘积)在(-∞,+∞)也连续。(2)∵y=sinx,y=cosx在其定义域(-∞,+∞)连续,幂函数、三角函数在其定义域内都是连续的。二、反函数与复合函数的连续性定理（2）(P.65)若f为单调连续函数，则其反函数必存在，且也单
2、调且连续。例：单值、单调且连续，也单值、单调且连续。反三角函数在其定义域上都是连续函数。定理（3）(P.66)——复合函数的极限存在性定理（4）(P.66)a;——复合函数的连续性连续的复合函数仍为连续函数。例1：解：例2：讨论y=ax,y=logax(a>0,a≠1)，y=xα(α为一切实数)的连续性。均在其定义域连续，∴其反函数y=logax也在其定义域连续。均在其定义域连续，∴y=xα(α为一切实数)也在其定义域连续。解：三、初等函数的连续性基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。一切初等函数在它们的定义区间内都是连续的。定义区间：指包含在定义域内的区间。1.初等函数在
3、其定义区间内任何一点的极限值就是函数在该点的函数值。2.初等函数的定义区间就是该函数的连续区间。例题讨论例1：解：∴连续区间为：例2：解：例3：试选择a,使f(x)为连续函数。解：x<1及x>1时,f(x)连续；——不定型例1：解：要使极限存在且为常数，例2：解：课外作业习题1-9(A)2、3(2,5,8,10,11,12)、5习题1-9(B)1(2,3,5),3(4,7,8),4§10.闭区间上连续函数的性质一、最大值与最小值定理定理1：在闭区间上连续的函数必有最大值与最小值。(证略)即若f(x)在[a,b]连续，则必存在两点m==M(最小值)(最大值)xy0ab说明：闭区
4、间，连续函数，缺一不可。若不是闭区间，如：y=x在(a,b)内连续，xy0ab。。无最小值无最大值若f(x)不连续，如：xy0112。。.也无最大最小值。定理中两条件：定理2：作为推论，得有界性定理。在闭区间上连续的函数必在该区间有界。由定理1，二、介值定理定理3：(零点定理)(根的存在定理)且f(a)与f(b)异号，(即f(a)·f(b)<0)则至少存在一点若f(x)在[a,b]连续，xy0abf(a)f(b).ξxy0ab结论又为：方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。定理4(介值定理)若f(x)在[a,b]连续，且f(a)=A,f(b)=B,A≠B,则对于A、B之
5、间的任一数C，至少存在一点使f(ξ)=C.证：且在[a,b]连续，无论A
